logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Matematyka dyskretna, zadanie nr 4502

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-04-27 16:02:20

Narysowac diagram relacji R na zbiorze X={0,1,2} takiej, ze:
a)
R nie jest zwrotna i prawdziwe jest zdanie ($\exists_{y}\in X$)($\forall_{x}\in X$)R(x,y)

Diagram: (0,1), (1,1), (2,1)
Czy ten y musi byc ten sam dla kazdego x czy moze to byc inny y?
b)
falszywe jest zdanie ($\forall_{x}\in X$)($\exists_{y}\in X$)R(x,y)$\Rightarrow$ $\exists_{x}$R(x,x)

Czyli prawdziwa jest negacja tego zdania, czyli ($\forall_{x}\in X$)($\exists_{y}\in X$)R(x,y)$\wedge$ $\forall_{x}\neg$R(x,x)

Diagram: (0,1), (1,2), (2,0)

Podobne pytanie czy ten y musi byc taki sam dla wszystkich x?

c)
prawdziwe jest zdanie ($\forall_{x}\in X$)($\exists_{y}\in X$)R(x,y) zas falszywe jest zdanie ($\exists_{y}\in X$)($\forall_{x}\in X$)R(x,y), czyli prawdziwa jest jego negacja ($\forall_{y}\in X$)($\exists_{x}\in X$)$\neg$R(x,y)

Diagram: (0,1), (1,1), (2,0).

dobre przyklady?


tumor
postów: 8070
2016-04-27 16:14:26

a)
Diagram jest porządku.
Jeśli chodzi o Twoje pytanie: musi być ten sam. Bo tak mówi kolejność kwantyfikatorów.
Istnieje y taki, że dla każdego x mamy (x,y).
Gdyby kolejność kwantyfikatorów była
"Dla każdego x istnieje y, że (x,y)", wtedy dla każdego x mógłby to być inny y.

b) tu kolejność kwantyfikatorów pozwala, by dla każdego x dopasować inny y

c) no i tu właśnie widać, jak zmienia się sens zależnie od kolejności kwantyfikatorów.

Dobre przykłady.



geometria
postów: 863
2016-04-27 16:45:54

Dziekuje.


geometria
postów: 863
2016-04-28 15:24:05

Na zbiorze X={a,b,c,d,e} okreslona jest relacja R o podanym diagramach (wariant 1) i wariant 2)). Wypisac wszystkie elementy zbioru {x$\in X: p(x)$}.

wariant 1)
diagram: (a,b), (a,c), (b,e), (c,b), (d,c), (d,d).

wariant 2)
diagram: (a,b), (a,c), (b,c), (b,d), (c,d), (d,c), (d,e), (e,a), (e,e).

p(x)=$\exists_{y}$(R(x,y)$\wedge$$\forall_{z}$(y$\neq$z$\wedge$R(x,z)$\Rightarrow$R(y,z))).

1) {a,b,c,d}
2) {a,b,c,d,e}

Nie wiem czy to dobrze, bo mam problem z ta czescia $\forall_{z}$(y$\neq$z...
A gdy y=z to nie jest to prawdziwe dla kazdego $z$.


tumor
postów: 8070
2016-04-28 20:45:59

1)
jeśli x=a, to y=c, wtedy z=b i mamy parę (c,b), ok
jeśli x=b, to y=e, nie ma żadnego z, czyli warunek spełniony
jeśli x=c, to y=b, nie ma z.
jeśli x=d, to y=d, wtedy z=c, mamy parę (d,c), czyli gra.

Rzeczywiście element e nie jest z żadnym w relacji, czyli nie spełnia pierwszego warunku.

2)
Jak poprzednio
x=a jak wcześniej
x=b, wtedy y=c, z=d
x=c, wtedy y=d, brak z
Ale:
x=d, wtedy y nie może być e (bo wtedy z=c i potrzebujemy pary (e,c)), no i y nie może być c (bo wtedy z=e i potrzebujemy pary (c,e))
Czyli x=d chyba raczej nie należy do zbioru.

I dalej, jeśli x=e, to y=e, z=a.



geometria
postów: 863
2016-04-28 23:46:17

A czemu jak nie ma zadnego $z$ to warunek spelniony, skoro tam jest $\forall_{z}$?


tumor
postów: 8070
2016-04-29 00:06:40

Wprawdzie nie ma tego nawiasu, ale żeby w ogóle formuła była sensowna jest

$\forall_z((z\neq y \wedge R(x,z))\Rightarrow R(y,z))$

Co mówi, że jeśli $x$ jest w relacji z $z$ innym niż $y$, to $y$ też jest w relacji z tym $z$.

Jeśli $x$ jest w relacji TYLKO z $y$, to nie jest z żadnym innym, wobec tego formuła spełniona, bo poprzednik implikacji dla każdego $z$ fałszywy.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 35 drukuj