logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4507

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sialalam
postów: 47
2016-04-28 22:46:42

Dane są ograniczone ciągi liczbowe $a_{n}$$b_{n}$ z $a_{n}, b_{n} \ge 0$ $n\in N$
Wykaż że :

$\limsup_{n \to \infty} (a_{n}\cdot b_{n})$$\le \limsup_{n \to \infty} (a_{n})\cdot \limsup_{n \to \infty} (b_{n}))$

Gdy $a_{n}$ jest ciągiem zbieżnym to obowiązuje $\limsup_{n \to \infty} (a_{n}\cdot b_{n})$$=\limsup_{n \to \infty} (a_{n})\cdot \limsup_{n \to \infty} (b_{n}))$


tumor
postów: 8070
2016-04-28 23:25:00

$\limsup_{n \to \infty}a_n=a $
$\limsup_{n \to \infty}b_n=b $
$\limsup_{n \to \infty}a_nb_n=x $
Przyjmijmy, że a,b dodatnie, bo jeśli co najmniej jedna równa 0, to przykład się upraszcza (mamy granicę iloczynu ciągu zbieżnego do 0 i ciągu ograniczonego).

Zatem istnieją podciągi tych ciągów zbieżne odpowiednio do a,b,x.
Niech $a_kb_k$ będzie podciągiem zbieżnym do x.
Jeśli teraz $x>ab$, to istnieje $\epsilon>0$, że nieskończenie wiele wyrazów ciągu $a_kb_k>ab(1+\epsilon)$.
Zatem nieskończenie wiele wyrazów $a_k>a\sqrt{1+\epsilon}$ lub nieskończenie wiele wyrazów $b_k>b\sqrt{1+\epsilon}$. Ale ciągi ograniczone zawierają podciągi zbieżne, zatem istnieje podciąg $b_s$ ciągu $b_k$ zbieżny do liczby nie mniejszej niż $b\sqrt{1+\epsilon}>b$ lub podciąg $a_s$ ciągu $a_k$ zbieżny do liczby nie mniejszej niż $a\sqrt{1+\epsilon}>a$, co przeczy założeniom.

---

Jeśli $a_n$ jest zbieżny i $x<ab$, to istnieje $\epsilon>0$, że każdy podciąg ciągu $a_nb_n$ jeśli jest zbieżny, to ma granicę mniejszą niż $ab-\epsilon$.
Jednakże jeśli $b_s$ zbieżny do $b$ i $a_n$ zbieżny do $a$, to $a_s$ też zbieżny do $a$, $a_sb_s$ zbieżny do $ab$.






sialalam
postów: 47
2016-04-28 23:58:50

Nie bardzo rozumiem w jaki sposób została udowodniona pierwsza nierówność.


tumor
postów: 8070
2016-04-29 00:02:03

Okejka. Jeśli znajdziesz jakąś nieścisłość albo wręcz błąd, to napisz.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 22 drukuj