logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4512

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sudent1234
postów: 15
2016-05-03 10:16:34

zadania te są z analizy matematycznej, nie z algebry tak jak wskazuje na to tytuł.



Wiadomość była modyfikowana 2016-05-03 13:12:49 przez sudent1234

tumor
postów: 8070
2016-05-03 10:49:18

1.
Zbieżność punktowa jest oczywista, bo dla ustalonego x mamy

$\lim_{n \to \infty}1-cos\frac{x+e^x}{n}=0$

Zbieżności jednostajnej oczywiście nie ma, bowiem dla każdego n istnieje x taki, że $1-cos\frac{x+e^x}{n}=1-cos\frac{\pi}{2}=1$.

Mamy zbieżność niemal jednostajną. Niech A będzie zwarty, czyli także ograniczony. Niech M będzie ograniczeniem górnym, -M dolnym.
Wówczas weźmy $n_0= M+3^M>M+e^M$. Dla $n>n_0$ mamy
$sup_{x\in A}f_n\mid_A (x)<1-cos\frac{M+e^M}{n}\overset{n\to \infty}{\longrightarrow}0$


tumor
postów: 8070
2016-05-03 11:26:05

2.

Przypuśćmy, że f wypukła nie jest. Istnieją zatem $t<y<z$, że
punkt $(y,f(y))$ leży powyżej odcinka łączącego $(t,f(t))$ i $(z,f(z))$.
Różnicę $f(y)-(f(t)+\frac{f(z)-f(t)}{z-t}(y-t))$ oznaczmy $\epsilon$.

Jeśli jednak f(y) stanowi supremum jak w zadaniu, to dla pewnego $m>n_0$ mamy $f_m(y)>f(y)-\epsilon$.
Jednocześnie jednak $f_m(t)\le f(t)$ oraz $f_m(z)\le f(z)$, czyli $f_m$ nie jest wypukła.




strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 23 drukuj