Analiza matematyczna, zadanie nr 4523

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
chudek postów: 39	2016-05-06 17:47:48 Witam! Chcąc wyrazić(aproksymować) sygnał opisany modelem w postaci funkcji $f(t)$ za pomocą wybranej funkcji $f _{1}(t)$ w skończonym przedziale czasu $(0,T)$ w postaci: $f(t)=c _{1}f _{1}(t)+e(t)$ należy najpierw wybrać kryterium średniokwadratowe służące do oceny jakości tego przybliżenia(przy rozkładaniu sygnału okresowego na szereg Fouriera), które jest wyliczane ze wzoru: $Q= \frac{1}{T} \int_{0}^{T}e^2(t)dt$ i również: $Q=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}(f(t)-c _{1}f _{1}(t))^2dt$ (oznaczenie numer 1) W wyniku minimalizacji tego (1)kryterium otrzymuje się zależność na optymalną wartość współczynnika rozkładu funkcji $f(t)$ na składową $f _{1}(t)$: $c _{1}= \frac{ \int_{0}^{T}f(t)f _{1}(t)dt }{\int_{0}^{T}f_{1}(t)f _{1}(t)dt}$. To jest teoria, którą chciałbym zrozumieć. Wiem, że aby dojść od kryterium(1) do zależności na $c _{1}$ należy przyrównać pochodną $\frac{dQ}{dc _{1}}$ do 0. Zatrzymuję się na samym poczatku, gdyż nie wiem, co dalej z tym zrobić: $0= \frac{d(\frac{1}{T} \int_{0}^{T}(f(t)-c _{1}f _{1}(t))^2dt)}{dc _{1}}$

janusz78 postów: 820	2016-05-08 11:41:40 Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej $\frac{dQ}{dc_{1}}(c_{1})= \frac{2}{T}\int_{0}^{T}[f(t)-c_{1}f_{1}(t)]f_{1}(t)dt. $ Z własności liniowości i jednorodności całki oznaczonej $\frac{dQ}{dc_{1}}(c_{1})= \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cdot f_{1}(t)dt -\frac{2}{T}c_{1}\int_{0}^{T}f_{1}(t)\cdot f_{1}t)dt=\frac{2}{T}[\int_{0}^{T}f(t)\cdot f_{1}(t)dt -c_{1}\int_{0}^{T}f_{1}(t)\cdot f_{1}t)dt] = 0.$ Stąd $c_{1}= \frac{\int_{0}^{T}f(t)\cdot f_{1}(t)dt}{\int_{0}^{T}f_{1}(t)\cdot f_{1}(t)dt}.$ W zapisie za pomocą iloczynu skalarnego w metryce funkcji(sygnałów) całkowalnych z kwadratem $ c_{1}= \frac{(f(t)\|f_{1}(t))}{(f_{1}(t)\|f_{1}(t))}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj