logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4523

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

chudek
postów: 39
2016-05-06 17:47:48

Witam!
Chcąc wyrazić(aproksymować) sygnał opisany modelem w postaci funkcji $f(t)$ za pomocą wybranej funkcji $f _{1}(t)$ w skończonym przedziale czasu $(0,T)$ w postaci:
$f(t)=c _{1}f _{1}(t)+e(t)$
należy najpierw wybrać kryterium średniokwadratowe służące do oceny jakości tego przybliżenia(przy rozkładaniu sygnału okresowego na szereg Fouriera), które jest wyliczane ze wzoru:

$Q= \frac{1}{T} \int_{0}^{T}e^2(t)dt$

i również:

$Q=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}(f(t)-c _{1}f _{1}(t))^2dt$ (oznaczenie numer 1)
W wyniku minimalizacji tego (1)kryterium otrzymuje się zależność na optymalną wartość współczynnika rozkładu funkcji $f(t)$ na składową $f _{1}(t)$:

$c _{1}= \frac{ \int_{0}^{T}f(t)f _{1}(t)dt }{\int_{0}^{T}f_{1}(t)f _{1}(t)dt}$.

To jest teoria, którą chciałbym zrozumieć. Wiem, że aby dojść od kryterium(1) do zależności na $c _{1}$ należy przyrównać pochodną $\frac{dQ}{dc _{1}}$ do 0.

Zatrzymuję się na samym poczatku, gdyż nie wiem, co dalej z tym zrobić:

$0= \frac{d(\frac{1}{T} \int_{0}^{T}(f(t)-c _{1}f _{1}(t))^2dt)}{dc _{1}}$



janusz78
postów: 820
2016-05-08 11:41:40

Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej

$\frac{dQ}{dc_{1}}(c_{1})= \frac{2}{T}\int_{0}^{T}[f(t)-c_{1}f_{1}(t)]f_{1}(t)dt. $

Z własności liniowości i jednorodności całki oznaczonej

$\frac{dQ}{dc_{1}}(c_{1})= \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cdot f_{1}(t)dt -\frac{2}{T}c_{1}\int_{0}^{T}f_{1}(t)\cdot f_{1}t)dt=\frac{2}{T}[\int_{0}^{T}f(t)\cdot f_{1}(t)dt -c_{1}\int_{0}^{T}f_{1}(t)\cdot f_{1}t)dt] = 0.$

Stąd

$c_{1}= \frac{\int_{0}^{T}f(t)\cdot f_{1}(t)dt}{\int_{0}^{T}f_{1}(t)\cdot f_{1}(t)dt}.$

W zapisie za pomocą iloczynu skalarnego w metryce funkcji(sygnałów) całkowalnych z kwadratem

$ c_{1}= \frac{(f(t)|f_{1}(t))}{(f_{1}(t)|f_{1}(t))}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj