logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4525

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

karolinam
postów: 23
2016-05-06 22:57:52

Zadanie: Niech X będzie przestrzenią, w której każdy punkt jest domknięty, nie posiadającą punktów izolowanych. Pokazać, że podzbiór gęsty A$\subset$X też nie ma punktów izolowanych.
Teoria:
1) X$\in$$T_{1}$ $\iff$ każdy zbiór jednopunktowy w X jest domknięty.
2) X$\in$$T_{1}$ $\iff$ $\forall_{x_{1},x_{2} \in X}$, $x_{1}$$\neq$$x_{2}$ $\exists_{U \in O}$ $x_{1}$$\in$U $\wedge$ $x_{2}$$\notin$U
3) x - izolowany w A $\iff$ nie jest punktem skupienia
4) * - punkt skupienia zbioru A $\iff$ x$\in$cl(A\{x}); cl-domknięcie zbioru
5)Uwaga:
a) x - punkt skupienia w A $\iff$ $\forall_{x \in U \in O}$ {x}$\neq$U$\cap$A$\neq$ $\emptyset$
b) x - izolowany w A $\iff$ $\exists_{U \in O}$ U$\cap$A={x}
6) A - gęsty w X $\iff$ cl(A)=X; cl-domknięcie zbioru

Wiadomość była modyfikowana 2016-05-06 23:17:41 przez karolinam

karolinam
postów: 23
2016-05-06 23:09:23

c.d. teorii:
7) X-przestrzeń metryczna. Zbiór U$\subset$X nazywamy otwartym $\iff$ $\forall$x$\in$U $\exists$r>0 K(x,r)={y$\in$X : d(x,y)<r}$\subset$U
8) O - oznaczamy rodzinę zbiorów otwartych w (X,d), to:
a) X,$\emptyset$$\in$O
b)U,V$\in$O $\Rightarrow$ U$\cap$V$\in$O
c)$\forall$t$\in$T Ut$\in$O $\Rightarrow$ $\bigcup_{t\in T}$$U_{t}$$\in$O


karolinam
postów: 23
2016-05-06 23:21:14

Zadanie 2: Niech E i F będą zbiorami gęstymi w X.
a) Pokazać, że jeśli E i F są otwarte, to E$\cap$F jest także gęsty w X.
b) Czy założenie otwartości jest istotne?


karolinam
postów: 23
2016-05-06 23:24:15

Zadanie 3: Niech E będzie gęstym podzbiorem przestrzeni X, U$\subset$X podzbiorem otwartym. Pokazać, że U$\subset$cl(E$\cap$U);
cl-domknięcie zbioru


karolinam
postów: 23
2016-05-06 23:26:19

Zadanie 4: Dla jakiej przestrzeni X zachodzi : jeśli A$\subset$X jest zbiorem gęstym w X, to A=X?


karolinam
postów: 23
2016-05-06 23:32:39

Jeżeli jest ktoś w stanie pomóc, to byłabym wdzięczna :)


tumor
postów: 8070
2016-05-06 23:34:09

Zadanie 1.

Załóżmy, że $x\in A$ jest izolowany w A, ale nie jest izolowany w X, czyli istnieje otoczenie U punktu x, którego częścią wspólną z $A jest \{x\}$, natomiast część wspólna z X ma jeszcze punkt $y\neq x$. X jest $T_1$, zatem istnieje otoczenie V punktu y, do którego nie należy x, niech teraz $W=U\cap V$. $y\in W$. $A\cap W = \emptyset$

$cl A\cap W=\emptyset$, a przecież W niepusty i $clA=X$, sprzeczność.

-----

Bardzo fajnie, że piszesz używane definicje. Wiadomo, do czego się odwołać.


tumor
postów: 8070
2016-05-06 23:47:16


Zadanie 2.
Po pierwsze zauważamy, że zbiór gęsty ma z każdym zbiorem otwartym niepustym niepusty przekrój. Bo jeśli U otwarty i niepusty, $A\cap U=\emptyset$, to $clA\cap U=\emptyset$, wobec czego A nie byłby gęsty.

a) Niech U otwarty niepusty. U ma niepusty przekrój z E. Przekrój ten, jako część wspólna zbiorów otwartych, jest zbiorem otwartym, oznaczmy go $U_1$. Zbiór $U_1$ niepusty otwarty, ma zatem niepusty przekrój z F, nazwijmy ten przekrój $U_2$, jest to zbiór otwarty.
$U_2\subset U$ oraz
$U_2$ ma niepusty przekrój z $E\cap F$, czyli
U ma niepusty przekrój z $E\cap F$.

U wzięliśmy dowolnie. Otrzymaliśmy zatem, że każdy zbiór otwarty niepusty ma niepusty przekrój z $E\cap F$, wobec czego $cl (E\cap F)=X$, czyli $E\cap F$ gęsty.

b) założenie otwartości jest użyte w powyższym dowodzie. Jest istotne, co pokazuje na przykład $X=R$, $E=Q$, $F=R\backslash Q$.


tumor
postów: 8070
2016-05-06 23:55:56

Zadanie 4.

Dla przestrzeni dyskretnej.
Jeśli przestrzeń nie jest dyskretna, to istnieje punkt x taki, że $\{x\}$ nie jest otwarty. Wtedy $A=X\backslash \{x\}$ jest gęsty.
Jeśli przestrzeń jest dyskretna, to zbiory jednopunktowe są otwarte, zatem dla każdego x musi być $\{x\}\cap A\neq \emptyset$, czyli $x\in A$

Zadanie 3.
Przypuśćmy, że $x\notin cl (E\cap U)$
Zatem ma on otoczenie V rozłączne z $E\cap U$.
Mamy V rozłączne z U (gdyby bowiem nie były rozłączne, to ich niepusta część wspólna byłaby otwarta, miałaby część wspólną z E).
Wobec tego $x\notin U$.



karolinam
postów: 23
2016-05-07 00:03:58

Wow....ale szybko Ci to poszło :)
Dziękuję bardzo za pomoc !
Pozdrawiam.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 20 drukuj