Algebra, zadanie nr 4525
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
karolinam post贸w: 23 |  2016-05-06 22:57:52Zadanie: Niech X b臋dzie przestrzeni膮, w kt贸rej ka偶dy punkt jest domkni臋ty, nie posiadaj膮c膮 punkt贸w izolowanych. Pokaza膰, 偶e podzbi贸r g臋sty A$\subset$X te偶 nie ma punkt贸w izolowanych. Teoria: 1) X$\in$$T_{1}$ $\iff$ ka偶dy zbi贸r jednopunktowy w X jest domkni臋ty. 2) X$\in$$T_{1}$ $\iff$ $\forall_{x_{1},x_{2} \in X}$, $x_{1}$$\neq$$x_{2}$ $\exists_{U \in O}$ $x_{1}$$\in$U $\wedge$ $x_{2}$$\notin$U 3) x - izolowany w A $\iff$ nie jest punktem skupienia 4) * - punkt skupienia zbioru A $\iff$ x$\in$cl(A\{x}); cl-domkni臋cie zbioru 5)Uwaga: a) x - punkt skupienia w A $\iff$ $\forall_{x \in U \in O}$ {x}$\neq$U$\cap$A$\neq$ $\emptyset$ b) x - izolowany w A $\iff$ $\exists_{U \in O}$ U$\cap$A={x} 6) A - g臋sty w X $\iff$ cl(A)=X; cl-domkni臋cie zbioru Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-05-06 23:17:41 przez karolinam |
karolinam post贸w: 23 | 2016-05-06 23:09:23 c.d. teorii: 7) X-przestrze艅 metryczna. Zbi贸r U$\subset$X nazywamy otwartym $\iff$ $\forall$x$\in$U $\exists$r>0 K(x,r)={y$\in$X : d(x,y)<r}$\subset$U 8) O - oznaczamy rodzin臋 zbior贸w otwartych w (X,d), to: a) X,$\emptyset$$\in$O b)U,V$\in$O $\Rightarrow$ U$\cap$V$\in$O c)$\forall$t$\in$T Ut$\in$O $\Rightarrow$ $\bigcup_{t\in T}$$U_{t}$$\in$O |
karolinam post贸w: 23 | 2016-05-06 23:21:14 Zadanie 2: Niech E i F b臋d膮 zbiorami g臋stymi w X. a) Pokaza膰, 偶e je艣li E i F s膮 otwarte, to E$\cap$F jest tak偶e g臋sty w X. b) Czy za艂o偶enie otwarto艣ci jest istotne? |
karolinam post贸w: 23 | 2016-05-06 23:24:15 Zadanie 3: Niech E b臋dzie g臋stym podzbiorem przestrzeni X, U$\subset$X podzbiorem otwartym. Pokaza膰, 偶e U$\subset$cl(E$\cap$U); cl-domkni臋cie zbioru |
karolinam post贸w: 23 | 2016-05-06 23:26:19 Zadanie 4: Dla jakiej przestrzeni X zachodzi : je艣li A$\subset$X jest zbiorem g臋stym w X, to A=X? |
karolinam post贸w: 23 | 2016-05-06 23:32:39 Je偶eli jest kto艣 w stanie pom贸c, to by艂abym wdzi臋czna :) |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-06 23:34:09 Zadanie 1. Za艂贸偶my, 偶e $x\in A$ jest izolowany w A, ale nie jest izolowany w X, czyli istnieje otoczenie U punktu x, kt贸rego cz臋艣ci膮 wsp贸ln膮 z $A jest \{x\}$, natomiast cz臋艣膰 wsp贸lna z X ma jeszcze punkt $y\neq x$. X jest $T_1$, zatem istnieje otoczenie V punktu y, do kt贸rego nie nale偶y x, niech teraz $W=U\cap V$. $y\in W$. $A\cap W = \emptyset$ $cl A\cap W=\emptyset$, a przecie偶 W niepusty i $clA=X$, sprzeczno艣膰. ----- Bardzo fajnie, 偶e piszesz u偶ywane definicje. Wiadomo, do czego si臋 odwo艂a膰. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-06 23:47:16 Zadanie 2. Po pierwsze zauwa偶amy, 偶e zbi贸r g臋sty ma z ka偶dym zbiorem otwartym niepustym niepusty przekr贸j. Bo je艣li U otwarty i niepusty, $A\cap U=\emptyset$, to $clA\cap U=\emptyset$, wobec czego A nie by艂by g臋sty. a) Niech U otwarty niepusty. U ma niepusty przekr贸j z E. Przekr贸j ten, jako cz臋艣膰 wsp贸lna zbior贸w otwartych, jest zbiorem otwartym, oznaczmy go $U_1$. Zbi贸r $U_1$ niepusty otwarty, ma zatem niepusty przekr贸j z F, nazwijmy ten przekr贸j $U_2$, jest to zbi贸r otwarty. $U_2\subset U$ oraz $U_2$ ma niepusty przekr贸j z $E\cap F$, czyli U ma niepusty przekr贸j z $E\cap F$. U wzi臋li艣my dowolnie. Otrzymali艣my zatem, 偶e ka偶dy zbi贸r otwarty niepusty ma niepusty przekr贸j z $E\cap F$, wobec czego $cl (E\cap F)=X$, czyli $E\cap F$ g臋sty. b) za艂o偶enie otwarto艣ci jest u偶yte w powy偶szym dowodzie. Jest istotne, co pokazuje na przyk艂ad $X=R$, $E=Q$, $F=R\backslash Q$. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-06 23:55:56 Zadanie 4. Dla przestrzeni dyskretnej. Je艣li przestrze艅 nie jest dyskretna, to istnieje punkt x taki, 偶e $\{x\}$ nie jest otwarty. Wtedy $A=X\backslash \{x\}$ jest g臋sty. Je艣li przestrze艅 jest dyskretna, to zbiory jednopunktowe s膮 otwarte, zatem dla ka偶dego x musi by膰 $\{x\}\cap A\neq \emptyset$, czyli $x\in A$ Zadanie 3. Przypu艣膰my, 偶e $x\notin cl (E\cap U)$ Zatem ma on otoczenie V roz艂膮czne z $E\cap U$. Mamy V roz艂膮czne z U (gdyby bowiem nie by艂y roz艂膮czne, to ich niepusta cz臋艣膰 wsp贸lna by艂aby otwarta, mia艂aby cz臋艣膰 wsp贸ln膮 z E). Wobec tego $x\notin U$. |
karolinam post贸w: 23 | 2016-05-07 00:03:58 Wow....ale szybko Ci to posz艂o :) Dzi臋kuj臋 bardzo za pomoc ! Pozdrawiam. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj