Algebra, zadanie nr 4525

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
karolinam postów: 23	2016-05-06 22:57:52 Zadanie: Niech X będzie przestrzenią, w której każdy punkt jest domknięty, nie posiadającą punktów izolowanych. Pokazać, że podzbiór gęsty A$\subset$X też nie ma punktów izolowanych. Teoria: 1) X$\in$$T_{1}$ $\iff$ każdy zbiór jednopunktowy w X jest domknięty. 2) X$\in$$T_{1}$ $\iff$ $\forall_{x_{1},x_{2} \in X}$, $x_{1}$$\neq$$x_{2}$ $\exists_{U \in O}$ $x_{1}$$\in$U $\wedge$ $x_{2}$$\notin$U 3) x - izolowany w A $\iff$ nie jest punktem skupienia 4) * - punkt skupienia zbioru A $\iff$ x$\in$cl(A\{x}); cl-domknięcie zbioru 5)Uwaga: a) x - punkt skupienia w A $\iff$ $\forall_{x \in U \in O}$ {x}$\neq$U$\cap$A$\neq$ $\emptyset$ b) x - izolowany w A $\iff$ $\exists_{U \in O}$ U$\cap$A={x} 6) A - gęsty w X $\iff$ cl(A)=X; cl-domknięcie zbioru Wiadomość była modyfikowana 2016-05-06 23:17:41 przez karolinam

karolinam postów: 23	2016-05-06 23:09:23 c.d. teorii: 7) X-przestrzeń metryczna. Zbiór U$\subset$X nazywamy otwartym $\iff$ $\forall$x$\in$U $\exists$r>0 K(x,r)={y$\in$X : d(x,y)<r}$\subset$U 8) O - oznaczamy rodzinę zbiorów otwartych w (X,d), to: a) X,$\emptyset$$\in$O b)U,V$\in$O $\Rightarrow$ U$\cap$V$\in$O c)$\forall$t$\in$T Ut$\in$O $\Rightarrow$ $\bigcup_{t\in T}$$U_{t}$$\in$O

karolinam postów: 23	2016-05-06 23:21:14 Zadanie 2: Niech E i F będą zbiorami gęstymi w X. a) Pokazać, że jeśli E i F są otwarte, to E$\cap$F jest także gęsty w X. b) Czy założenie otwartości jest istotne?

karolinam postów: 23	2016-05-06 23:24:15 Zadanie 3: Niech E będzie gęstym podzbiorem przestrzeni X, U$\subset$X podzbiorem otwartym. Pokazać, że U$\subset$cl(E$\cap$U); cl-domknięcie zbioru

karolinam postów: 23	2016-05-06 23:26:19 Zadanie 4: Dla jakiej przestrzeni X zachodzi : jeśli A$\subset$X jest zbiorem gęstym w X, to A=X?

karolinam postów: 23	2016-05-06 23:32:39 Jeżeli jest ktoś w stanie pomóc, to byłabym wdzięczna :)

tumor postów: 8070	2016-05-06 23:34:09 Zadanie 1. Załóżmy, że $x\in A$ jest izolowany w A, ale nie jest izolowany w X, czyli istnieje otoczenie U punktu x, którego częścią wspólną z $A jest \{x\}$, natomiast część wspólna z X ma jeszcze punkt $y\neq x$. X jest $T_1$, zatem istnieje otoczenie V punktu y, do którego nie należy x, niech teraz $W=U\cap V$. $y\in W$. $A\cap W = \emptyset$ $cl A\cap W=\emptyset$, a przecież W niepusty i $clA=X$, sprzeczność. ----- Bardzo fajnie, że piszesz używane definicje. Wiadomo, do czego się odwołać.

tumor postów: 8070	2016-05-06 23:47:16 Zadanie 2. Po pierwsze zauważamy, że zbiór gęsty ma z każdym zbiorem otwartym niepustym niepusty przekrój. Bo jeśli U otwarty i niepusty, $A\cap U=\emptyset$, to $clA\cap U=\emptyset$, wobec czego A nie byłby gęsty. a) Niech U otwarty niepusty. U ma niepusty przekrój z E. Przekrój ten, jako część wspólna zbiorów otwartych, jest zbiorem otwartym, oznaczmy go $U_1$. Zbiór $U_1$ niepusty otwarty, ma zatem niepusty przekrój z F, nazwijmy ten przekrój $U_2$, jest to zbiór otwarty. $U_2\subset U$ oraz $U_2$ ma niepusty przekrój z $E\cap F$, czyli U ma niepusty przekrój z $E\cap F$. U wzięliśmy dowolnie. Otrzymaliśmy zatem, że każdy zbiór otwarty niepusty ma niepusty przekrój z $E\cap F$, wobec czego $cl (E\cap F)=X$, czyli $E\cap F$ gęsty. b) założenie otwartości jest użyte w powyższym dowodzie. Jest istotne, co pokazuje na przykład $X=R$, $E=Q$, $F=R\backslash Q$.

tumor postów: 8070	2016-05-06 23:55:56 Zadanie 4. Dla przestrzeni dyskretnej. Jeśli przestrzeń nie jest dyskretna, to istnieje punkt x taki, że $\{x\}$ nie jest otwarty. Wtedy $A=X\backslash \{x\}$ jest gęsty. Jeśli przestrzeń jest dyskretna, to zbiory jednopunktowe są otwarte, zatem dla każdego x musi być $\{x\}\cap A\neq \emptyset$, czyli $x\in A$ Zadanie 3. Przypuśćmy, że $x\notin cl (E\cap U)$ Zatem ma on otoczenie V rozłączne z $E\cap U$. Mamy V rozłączne z U (gdyby bowiem nie były rozłączne, to ich niepusta część wspólna byłaby otwarta, miałaby część wspólną z E). Wobec tego $x\notin U$.

karolinam postów: 23	2016-05-07 00:03:58 Wow....ale szybko Ci to poszło :) Dziękuję bardzo za pomoc ! Pozdrawiam.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj