logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4529

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-05-08 11:41:12

Stosujac rozwiniecia skonczone obliczyc granice.

a) $\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}sinx-x(1+x)}{x^{3}}$

Od czego zaczac i jak robic takie zadania?


janusz78
postów: 820
2016-05-08 16:12:15

Gdy obliczenie granicy regułą markiza de'Hospitala jest trudne, a czasem wręcz niemożliwe, wtedy przy obliczaniu granic przy $ x\rightarrow 0$ stosujemy asymptotyczne rozwinięcia skończone w szereg Colina Maclaurina.

Jak wiemy

$ e^{x}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}.$

$ sin(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$

$ (1+x)^{\alpha}= \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha \choose n}x^{n}.$

Uwzględniamy po dwa wyrazy rozwinięcia każdego z szeregów z resztą Giussepe Peano.

$ e^{x}= 1+ x + o(x).$

$ sin(x)= 1 -\frac{x^3}{3!}+ o(x^3).$

$ (1+x) = 1+ x + o(x)$

Podstawiamy powyższe rozwinięcia do granicy

$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x +o(x))(1- \frac{x^{3}}{3!}+o(x^3)) -x((1-x)+o(x))}{x^3}.$

Korzystamy z nastepujących własności symbolu $"o".$

Jeśli $f(x)=o(x^{k})$ i $g(x)=o(x^{l})$ to

$f(x)\cdot g(x)= o(x^{k+l}).$

Jeśli $f(x)=o(x^{k})$ i $ g(x)=o(x^{l})$ to $ f(x)\pm g(x)= o(x^{m})$, gdzie $ m= min(k,l).$

$\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+x^2-\frac{x^4}{3!}-x -x^2+o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\left(x^3[\frac{-\frac{1}{3!}-\frac{x}{3!}+\frac{o(x^3)}{x^3}}{x^3}]\right)= lim_{x\to 0}\left(-\frac{1}{3!} +\frac{x}{3!}\right)= -\frac{1}{6}.$



Wiadomość była modyfikowana 2016-05-08 16:22:14 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 22 drukuj