Analiza matematyczna, zadanie nr 4529

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
brightnesss postów: 113	2016-05-08 11:41:12 Stosujac rozwiniecia skonczone obliczyc granice. a) $\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}sinx-x(1+x)}{x^{3}}$ Od czego zaczac i jak robic takie zadania?

janusz78 postów: 820	2016-05-08 16:12:15 Gdy obliczenie granicy regułą markiza de'Hospitala jest trudne, a czasem wręcz niemożliwe, wtedy przy obliczaniu granic przy $ x\rightarrow 0$ stosujemy asymptotyczne rozwinięcia skończone w szereg Colina Maclaurina. Jak wiemy $ e^{x}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}.$ $ sin(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$ $ (1+x)^{\alpha}= \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha \choose n}x^{n}.$ Uwzględniamy po dwa wyrazy rozwinięcia każdego z szeregów z resztą Giussepe Peano. $ e^{x}= 1+ x + o(x).$ $ sin(x)= 1 -\frac{x^3}{3!}+ o(x^3).$ $ (1+x) = 1+ x + o(x)$ Podstawiamy powyższe rozwinięcia do granicy $\lim_{x\to 0} \frac{(1+x +o(x))(1- \frac{x^{3}}{3!}+o(x^3)) -x((1-x)+o(x))}{x^3}.$ Korzystamy z nastepujących własności symbolu $"o".$ Jeśli $f(x)=o(x^{k})$ i $g(x)=o(x^{l})$ to $f(x)\cdot g(x)= o(x^{k+l}).$ Jeśli $f(x)=o(x^{k})$ i $ g(x)=o(x^{l})$ to $ f(x)\pm g(x)= o(x^{m})$, gdzie $ m= min(k,l).$ $\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+x^2-\frac{x^4}{3!}-x -x^2+o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\left(x^3[\frac{-\frac{1}{3!}-\frac{x}{3!}+\frac{o(x^3)}{x^3}}{x^3}]\right)= lim_{x\to 0}\left(-\frac{1}{3!} +\frac{x}{3!}\right)= -\frac{1}{6}.$ Wiadomość była modyfikowana 2016-05-08 16:22:14 przez janusz78

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj