logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4536

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sialalam
postów: 47
2016-05-11 23:08:07

Mamy dowolna stala funkcje $f:[0,1]\rightarrow R$ oraz $g:[0,\pi]\rightarrow R$ definiowana :
$g(x) := ( x - \frac{\pi}{2}) f (sinx)$

wykaz ze g na $[0,\pi]$ jest symetryczna wzgledem $\frac{\pi}{2}$ tzn. $g(\pi-x) = -g(x)$ dla wszystkich $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$

udowodnij rownanie :
$\int_{0}^{\pi} xf(sinx) dx = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(sinx) dx $


tumor
postów: 8070
2016-05-12 07:02:43

Jeśli f jest stała, to po prostu $f(sinx)=f(y)=c$,

wtedy
$g(x)=(x-\frac{\pi}{2})c$
$g(\pi-x)=(\pi-x-\frac{\pi}{2})c=-(x-\frac{\pi}{2})c$

natomiast stałość funkcji f nie jest tu wcale założeniem koniecznym
$sinx=sin(\pi-x)$
wobec tego
$g(x)=(x-\frac{\pi}{2})f(sinx)$
$g(\pi-x)=(\pi-x-\frac{\pi}{2})f(sin(\pi-x))=-(x-\frac{\pi}{2})f(sinx)$


-----

Całka z funkcji stałej na przedziale to po prostu długość przedziału całkowania mnożona przez tę stałą.

Gdy jednak f stała nie jest, a tylko istnieją obie całki w równaniu, to
$\int_0^\pi xf(sinx)-\int_0^\pi \frac{\pi}{2}f(sinx)=
\int_0^\pi g(x)=0$
uzasadnić, że całka z g na tym przedziale wynosi 0, można z definicji.
Rozważmy ciąg podziałów o malejących średnicach takich, że jeśli $x_i$ należy do punktów podziału, to $\pi-x_i$ też należy oraz jednym z punktów podziału jest $\frac{\pi}{2}$
Wówczas $g(x_i^{i+1})(x_{i+1}-x_i)=-g(\pi-x_i^{i+1})(\pi-x_i-(\pi-x_{i+1})),$, gdzie $x_i^{i+1}\in (x_i,x_{i+1})$
wobec tego dla każdego podziału $\pi$ mamy $S(g,\pi)=0$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj