Algebra, zadanie nr 4536

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sialalam postów: 47	2016-05-11 23:08:07 Mamy dowolna stala funkcje $f:[0,1]\rightarrow R$ oraz $g:[0,\pi]\rightarrow R$ definiowana : $g(x) := ( x - \frac{\pi}{2}) f (sinx)$ wykaz ze g na $[0,\pi]$ jest symetryczna wzgledem $\frac{\pi}{2}$ tzn. $g(\pi-x) = -g(x)$ dla wszystkich $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$ udowodnij rownanie : $\int_{0}^{\pi} xf(sinx) dx = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(sinx) dx $

tumor postów: 8070	2016-05-12 07:02:43 Jeśli f jest stała, to po prostu $f(sinx)=f(y)=c$, wtedy $g(x)=(x-\frac{\pi}{2})c$ $g(\pi-x)=(\pi-x-\frac{\pi}{2})c=-(x-\frac{\pi}{2})c$ natomiast stałość funkcji f nie jest tu wcale założeniem koniecznym $sinx=sin(\pi-x)$ wobec tego $g(x)=(x-\frac{\pi}{2})f(sinx)$ $g(\pi-x)=(\pi-x-\frac{\pi}{2})f(sin(\pi-x))=-(x-\frac{\pi}{2})f(sinx)$ ----- Całka z funkcji stałej na przedziale to po prostu długość przedziału całkowania mnożona przez tę stałą. Gdy jednak f stała nie jest, a tylko istnieją obie całki w równaniu, to $\int_0^\pi xf(sinx)-\int_0^\pi \frac{\pi}{2}f(sinx)= \int_0^\pi g(x)=0$ uzasadnić, że całka z g na tym przedziale wynosi 0, można z definicji. Rozważmy ciąg podziałów o malejących średnicach takich, że jeśli $x_i$ należy do punktów podziału, to $\pi-x_i$ też należy oraz jednym z punktów podziału jest $\frac{\pi}{2}$ Wówczas $g(x_i^{i+1})(x_{i+1}-x_i)=-g(\pi-x_i^{i+1})(\pi-x_i-(\pi-x_{i+1})),$, gdzie $x_i^{i+1}\in (x_i,x_{i+1})$ wobec tego dla każdego podziału $\pi$ mamy $S(g,\pi)=0$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj