Algebra, zadanie nr 4536
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sialalam post贸w: 47 |  2016-05-11 23:08:07Mamy dowolna stala funkcje $f:[0,1]\rightarrow R$ oraz $g:[0,\pi]\rightarrow R$ definiowana : $g(x) := ( x - \frac{\pi}{2}) f (sinx)$ wykaz ze g na $[0,\pi]$ jest symetryczna wzgledem $\frac{\pi}{2}$ tzn. $g(\pi-x) = -g(x)$ dla wszystkich $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$ udowodnij rownanie : $\int_{0}^{\pi} xf(sinx) dx = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(sinx) dx $ |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-12 07:02:43 Je艣li f jest sta艂a, to po prostu $f(sinx)=f(y)=c$, wtedy $g(x)=(x-\frac{\pi}{2})c$ $g(\pi-x)=(\pi-x-\frac{\pi}{2})c=-(x-\frac{\pi}{2})c$ natomiast sta艂o艣膰 funkcji f nie jest tu wcale za艂o偶eniem koniecznym $sinx=sin(\pi-x)$ wobec tego $g(x)=(x-\frac{\pi}{2})f(sinx)$ $g(\pi-x)=(\pi-x-\frac{\pi}{2})f(sin(\pi-x))=-(x-\frac{\pi}{2})f(sinx)$ ----- Ca艂ka z funkcji sta艂ej na przedziale to po prostu d艂ugo艣膰 przedzia艂u ca艂kowania mno偶ona przez t臋 sta艂膮. Gdy jednak f sta艂a nie jest, a tylko istniej膮 obie ca艂ki w r贸wnaniu, to $\int_0^\pi xf(sinx)-\int_0^\pi \frac{\pi}{2}f(sinx)= \int_0^\pi g(x)=0$ uzasadni膰, 偶e ca艂ka z g na tym przedziale wynosi 0, mo偶na z definicji. Rozwa偶my ci膮g podzia艂贸w o malej膮cych 艣rednicach takich, 偶e je艣li $x_i$ nale偶y do punkt贸w podzia艂u, to $\pi-x_i$ te偶 nale偶y oraz jednym z punkt贸w podzia艂u jest $\frac{\pi}{2}$ W贸wczas $g(x_i^{i+1})(x_{i+1}-x_i)=-g(\pi-x_i^{i+1})(\pi-x_i-(\pi-x_{i+1})),$, gdzie $x_i^{i+1}\in (x_i,x_{i+1})$ wobec tego dla ka偶dego podzia艂u $\pi$ mamy $S(g,\pi)=0$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj