logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Matematyka dyskretna, zadanie nr 4539

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2016-05-13 19:41:30

Dana jest relacja rownowaznosci na zbiorze $R$.
x$\sim y\iff sinx=siny$

a) Wyznacz [0].
b) Wyznacz [1].
c) Jaka postac maja klasy abstrakcji i ile ich jest?
d) Jakie etykiety mozna w naturalny sposób zwiazac z klasami abstrakcji tej relacji?
e) Wyznacz zbior ilorazowy tej relacji.

a) [0]={x$\in R: sinx=sin0$}={x$\in R: sinx=0$}={x$\in R: x=k\pi, k\in Z$}

b) [1]={x$\in R: sinx=sin1$}={x$\in R:$ $x=1+2k\pi \vee x=\pi-1+2k\pi; k\in Z$}
c) Klasy abstrakcji maja postac: $A_{c}$={x$\in R$:$x=c+2k\pi \vee x=\pi-c+2k\pi; k\in Z$} dla kazdego c$\in R$.
Jest ich nieskonczenie wiele.
d) nie wiem
e) Zbior ilorazowy to: {$A_{c}: c\in R$}.


tumor
postów: 8085
2016-05-13 19:58:44

c)
nie potrzeba $c\in R$ (bo w ten sposób generujesz powtórki).
Oczywiście przecież $[a]=[a+2k\pi]$, jak również
$[a]=[\pi-a]$.
Wobec tego wystarczy $c\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, obejmuje to już wszystkie klasy abstrakcji.

d) każda klasa abstrakcji jest przeciwobrazem zbioru $\{y\}$ dla $y\in [-1,1]$, można zresztą opisać
$A_c=f^{-1}[\{f(c)\}]$ (przeciwobraz), gdzie $f(x)=sinx$

e) ta uwaga co w c)


geometria
postów: 854
2016-05-13 20:54:27

A jak bede chciec policzyc [12]?
Wowczas robie $A_{12}$ i licze a jak c$\in$[-$\frac{\pi}{2}$,$\frac{\pi}{2}$] to jak?


tumor
postów: 8085
2016-05-13 20:59:20

$ A_{12}=A_{12-4\pi}$

$12-4\pi\in [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

Wymienienie jednej klasy abstrakcji nieskończenie wiele razy nie jest w sumie błędem, ale jest chyba niepotrzebne. Dlatego sugeruję, by jedną klasę abstrakcji pisać tylko jeden raz.

W innych zadaniach, zauważ, gdy np $[1]=(0,1]$ to też nie wymieniasz tej klasy abstrakcji nieskończenie wiele razy, tzn
$[1]=[\frac{1}{2}]=[\frac{7}{12}]=[\frac{\sqrt{2}}{\pi}]=...$
tylko piszesz ją raz :)


geometria
postów: 854
2016-06-16 23:03:55

Moc klas abstrakcji to alef zero, bo x-ow bedzie tyle ile liczb calkowitych.

Klas abstrakcji jest nieprzeliczalnie wiele.
Moc zbioru ilorazowego to continuum, bo c nalezy do przedzialu.


tumor
postów: 8085
2016-06-16 23:11:28

Można też argumentować, że skoro klasy abstrakcji są przeliczalne, a zbiór R ma moc continuum, to zbiór klas abstrakcji musi mieć moc continuum.



geometria
postów: 854
2016-06-16 23:39:24

Czyli klas abstrakcji jest przeliczalnie wiele?


tumor
postów: 8085
2016-06-17 07:11:32

Napisałem, że klasy abstrakcji są zbiorami przeliczalnymi.
Wobec tego ich ilość, czyli moc zbioru ilorazowego, to c.

Gdyby klasy abstrakcji były zbiorami przeliczalnymi (nieważne, czy skończonymi), i byłoby ich przeliczalnie wiele (nieważne, czy skończenie wiele), to sumowałyby się do zbioru przeliczalnego. Skoro sumują się do R, to albo co najmniej jedna klasa ma moc c, albo zbiór ilorazowy ma moc c. Skoro nie zachodzi to pierwsze (bo każda klasa abstrakcji ma moc $\aleph_0$), to zachodzi to drugie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 13 drukuj