logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Matematyka dyskretna, zadanie nr 4544

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2016-05-14 14:35:30

Na zbiorze $P(N)$ zdefiniowano relacje:
A$\sim B\iff$(A$\backslash B) \cup (B\backslash A)$ jest zbiorem skonczonym.

a) wykaz, ze jest to relacja rownowaznosci
* zwrotna, bo A$\sim A\iff$(A$\backslash A) \cup (A\backslash A)$=$\emptyset\cup \emptyset =\emptyset$ jest zbiorem skonczonym.
** symetryczna, bo (A$\backslash B) \cup (B\backslash A)$$\Rightarrow$(B$\backslash A) \cup (A\backslash B)$ jest zbiorem skonczonym. (suma zbiorow jest przemienna)
*** przechodnia, bo ((A$\backslash B) \cup (B\backslash A)$)$\wedge$ ((B$\backslash C) \cup (C\backslash B)$)$\Rightarrow$(A$\backslash C) \cup (C\backslash A)$ jest zbiorem skonczonym. ale to ma zachodzic, ale jak to uzasadnic to nie wiem.

b) [$\emptyset$]={$A\in P(N):$ (A$\backslash$ $\emptyset$)$ \cup$ ($\emptyset$$\backslash$ A) jest zbiorem skonczonym}={$A\in P(N):$ A$\cup \emptyset$ jest zbiorem skonczonym}={$A\in P(N):$ A jest zbiorem skonczonym}
A jest skonczony, gdy ma skonczona liczbe elementow.
Zatem
[$\emptyset$]=$D_{n}$={$A\in P(N):$ |A|=n} dla kazdego n$\in N$

b) [{1}]={$A\in P(N):$ (A$\backslash$ {1})$ \cup$ ({1}$\backslash $ A) jest zbiorem skonczonym}={{1}, {1,2}, ...} jak to ogolnie opisac to nie wiem

Mysle, ze inne klasy abstrakcji tez trudno bedzie opisac.




tumor
postów: 8085
2016-05-14 16:35:11

a) w warunku symetrii o lewej stronie implikacji też trzeba powiedzieć "jest zbiorem skończonym" (to wtedy i prawa jest).

Ogólnie chyba zapominasz, że spójniki logiczne łączą ZDANIA.
$(A\backslash B)\cup (B \backslash A)$ NIE JEST ZDANIEM.
Podobnie zatem w warunku przechodniości przede wszystkim nie piszesz zdań tylko wyrażenia, działania na zbiorach.

Można zauważyć, że
$A\backslash C \subset (B\backslash C)\cup (A\backslash B)$
(jeśli $x\in A\backslash C$ nie należy do B, to należy do $A\backslash B$, jeśli natomiast należy do B, to należy do $B\backslash C$)
Skoro prawa strona jest skończona, a lewa jest jej podzbiorem, to lewa też jest skończona.


$[\{1\}]=[\{0\}]$, przecież dla każdego skończonego zbioru będzie on w relacji z każdym innym skończonym zbiorem.

Nigdy oczywiście ze zbiorem skończonym nie jest w relacji zbiór nieskończony.
Na koniec zastanówmy się, kiedy dwa zbiory nieskończone są w relacji. Są wtedy, gdy pokrywają się od pewnego miejsca.
Niepusty zbiór liczb naturalnych można potraktować zawsze jako ciąg rosnący (czasem skończony, ale teraz rozpatrujemy już zbiory - czyli ciągi - nieskończone).

Dwa zbiory (ciągi) A i B będą w relacji wtedy i tylko wtedy, gdy od pewnego miejsca (to znaczy niekoniecznie od tego samego indeksu w obu ciągach) się pokrywają, czyli istnieje jakaś liczba naturalna M, że każda liczba n>M albo należy do obu zbiorów A i B, albo do żadnego z nich.

Każda klasa abstrakcji będzie nieskończona (co łatwo pokazać: jeśli mamy jakiś ciąg rosnący, to da się z niego otrzymać inny ciąg rosnący zmieniając lub całkiem usuwając mu n-ty wyraz.

Klas abstrakcji też będzie nieskończenie wiele, bo dla przykładu zbiór potęg liczby pierwszej p ma nieskończenie wiele różnych elementów od zbioru potęg liczby pierwszej $q\neq p$


geometria
postów: 854
2016-05-14 17:35:17

Czyli [{1}]=[$\emptyset$]=[A] (A-zbior skonczony).


tumor
postów: 8085
2016-05-14 19:53:28

tak, skończone tworzą jedną klasę abstrakcji.


geometria
postów: 854
2016-06-16 23:00:11

A tutaj jaka bedzie moc klasy abstrakcji?
Wydaje mi sie, ze alef zero, bo liczbe elementow zbiorow skonczonych przedstawia sie za pomoca liczb naturalnych.

Klas abstrakcji bedzie przeliczalnie wiele. Moz zbioru ilorazowego to alef zero.


tumor
postów: 8085
2016-06-16 23:15:13

Gdyby było przeliczalnie wiele przeliczalnych klas abstrakcji, to w sumie nie mogłyby dać nieprzeliczalnego zbioru P(N).
Jedną z klas abstrakcji jest zbiór skończonych podzbiorów N, a to zbiór przeliczalny (zbiorów zeroelementowych jest przeliczalnie wiele, jednoelementowych przeliczalnie wiele, dwuelementowych przeliczalnie wiele,...,n-elementowych przeliczalnie wiele, a zatem ich suma, jako przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych, będzie przeliczalna).

Albo jednak klas abstrakcji jest nieprzeliczalnie wiele, albo co najmniej jedna klasa jest nieprzeliczalna, bo w sumie klasy abstrakcji dają P(N), zbiór nieprzeliczalny.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 44 drukuj