Inne, zadanie nr 4546

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
magneticnmr postów: 4	2016-05-14 20:08:52 Mam za zadanie rozwinąć w szereg fouriera zgodnie z wykresem podanym przez wykładowce. Niestety na zajęciach nie rozwiązaliśmy żadnego zadania z szeregu Fouriera więc nie mam pojęcia od czego zacząć. Link do wykresu: http://wstaw.org/w/3WbU/ znalazlem sobie tylko funkcję prostej ale nie wiem co dalej zrobić i czemu jest tam ta prosta pionowa-przeciez to nawet nie jest funkcja... nie wiem od czego zaczac i jak to wszystko ugryźć... proszę o jakieś wskazówki..od czego zaczac bo nie moge znaleźć żadneg podobnego przykladu.....

janusz78 postów: 820	2016-05-15 10:38:42 Zapisz wzór funkcji $ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{10}x, \ \ x\in(10n, 10n+10)\\ \frac{1}{2},\ \ x =10n \end{cases}, n\in Z.$ Jest to fala piłokształtna. Przedłuż ją parzyście i rozwiń w szereg Fouriera według kosinusów w przedziale $ [-10, 10].$ Wartość sumy tego szeregu w punktach $ \pm 10, \pm 20,...$ jest równa $\frac{1}{2}.$ Wiadomość była modyfikowana 2016-05-15 13:53:56 przez janusz78

magneticnmr postów: 4	2016-05-15 21:14:38 jak będą wyglądały wzory na wspolczynniki an i bn? an= 2/10 * całka w granicach od 0 do 10 z f(x)cos (2npi/10 x) dx ? czy dobrze mysle? za f(x) w tej calce mam podstawic 1/10 x?

janusz78 postów: 820	2016-05-16 10:19:05 $a_{0}= \frac{2}{10}\int_{0}^{10}\frac{1}{10}xdx. $ $a_{n} = \frac{2}{10}\int_{0}^{10} \frac{1}{10}x\cos\left(\frac{n\pi x}{10}\right)dx. $

magneticnmr postów: 4	2016-05-16 14:53:48 Czy w związku z tym, że funkcja jest nieparzysta an będzie równe 0? bo po obliczeniu tej całki przez części niestety nie wychodzi an=0... ?

janusz78 postów: 820	2016-05-16 15:45:39 $ a_{n}$ ma być różne od 0. $b_{n}=0.$ Bo przedłużyłeś funkcję parzyście. Wiadomość była modyfikowana 2016-05-16 15:46:36 przez janusz78

magneticnmr postów: 4	2016-05-16 16:21:32 Dlaczego? Moja funkcja jest nieparzysta a cosinus jest parzysty. Parzyste pomnozyc przez nieparzyste dalej wyjdzie nieparzyste a wiec an=0? W kazdym badz razie bn i tak nie wychodzi mi 0...

janusz78 postów: 820	2016-05-16 22:53:47 Fala piłokształtna w przedziale $[0, 10]$ nie jest funkcją ani parzystą ani nieparzystą. Po to, aby można było rozwinąć ją w szereg Fouriera - parzyście wg kosinusów - dorysowujemy taką samą "piłę" w przedziale [-10, 0] - mówimy, że przedłużamy funkcję do funkcji parzystej-przedłużamy parzyście. W trygonometrycznym szeregu Fouriera występują więc tylko współczynniki z kosinusami $ a_{n},\ \ n=0,1,2,3...,$ Współczynniki z sinusami $ b_{n}$ są równe $ 0.$ $ a_{0}= \frac{2}{10}\int_{0}^{10}\frac{1}{10}xdx = \frac{1}{50}[\frac{x^2}{2}]_{0}^{10}= 1.$ $a_{n}= \frac{2}{10}\int_{0}^{10}\frac{1}{10}x\cos\left(\frac{n\pi x}{10}\right)dx= \frac{1}{50}\int_{0}^{10}x\cos\left(\frac{n\pi x}{10}\right)dx.$ Podstawienia: $\frac{n\pi x}{10}= t, \ \ x =\frac{10t}{n\pi}, dx = \frac{10dt}{n\pi}.$ $ a_{n}= \frac{100}{50n^2\pi^2}\int_{0}^{n\pi}t\cos(t)dt =\frac{2}{n^2\pi^2}\int_{0}^{n\pi}t\cos(t)dt $ (przez części). $a_{n}=\frac{2}{n^2\pi^2}\int_{0}^{n\pi}t[\sin(t)]'dt = \frac{2}{n^2\pi^2}[ t\sin(t)\|_{0}^{n\pi}- \int_{0}^{n\pi}\sin(t)dt ]= \frac{2}{n^2\pi^2}[t\sin(t)\|_{0}^{n\pi} +\cos(t)\|_{0}^{n\pi}]$ $a_{n}= \frac{2}{n^2\pi^2}[0 +\cos(n\pi)- cos(0)]= \frac{2}{n^2\pi^2}[(-1)^{n}-1 ].$ $a_{n}=\begin{cases} 0,\ \ n=2k,\ \ k=1,2,...\\ -\frac{4}{n^2\pi^2}, \ \ n=2k+1,\ \ k=0,1,...\end{cases}.$ Szereg Fouriera dla fali piłokształtnej: $ f(x)= \frac{1}{2} -\frac{4}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos \left(\frac{(2k+1)\pi x}{10}\right)}{(2k+1)^2}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj