Analiza matematyczna, zadanie nr 4548
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| kamwik96 postów: 52 |  2016-05-15 12:43:42Wyznacz sumę szeregu: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^n(2n+3)}{4^n}x^{2n}$ |
| tumor postów: 8070 | 2016-05-15 14:19:56 $\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n(2n+3)= \sum_{n=0}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n(2n+3)-3= \sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)-3$ (powyżej zmieniliśmy indeksy na liczone od 0, ale odjęliśmy wyraz zerowy, a potem zmieniliśmy znów indeksy na od 1, ale odjęliśmy tę jedynkę od n we wzorze) oraz $\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n(2n+3)= \sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n(2n+1)+\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n*2= \frac{5x^2}{4}*\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)+\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n*2$ (tu podzieliliśmy sumę na dwie sumy, a z jednej z nich wyłączyliśmy stałą przed znak sumy) I ostatecznie $\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)-3= \frac{5x^2}{4}*\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)+\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n*2$ czyli $\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)- \frac{5x^2}{4}*\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)=3+\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n*2$ a sumę po prawej umiemy policzyć (geometryczny). Wobec tego umiemy też policzyć $(1- \frac{5x^2}{4})*\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)$ a wynik dzielimy przez początkowy nawias i wstawiamy do pierwszej linii. Oddzielnie rozpatrujemy parę szczególnych przypadków, np gdy przez ten nawias podzielić nie możemy. |
| janusz78 postów: 820 | 2016-05-15 21:39:32 Można też 1. Obliczyć promień zbieżności szeregu $ R = [\lim_{n\to \infty}\sqrt[2n]{a_{n}}]^{-1}$ $ R = \frac{2}{\sqrt{5}}.$ 2.Uwzględnić szereg geometryczny $ g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}x \right)^{2n+3}, \ \ x\in (-\frac{2}{\sqrt{5}},\ \ \frac{2}{\sqrt{5}}) $ i jego sumę $s(x)= \frac{25\sqrt{5}}{32(1-\frac{5}{4}x^2)}.$ 3.Zróżniczkować $ g $ i $s $ wyraz po wyrazie dla $x\in(-\frac{2}{\sqrt{5}},\ \ \frac{2}{\sqrt{5}}).$ $g'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(2n+3)\left(\frac{\sqrt{5}}{2}x\right)^{2n+2} = \frac{125\sqrt{5}x}{64\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right)^2}$(1) 4 . Podzielić obie strony równania (1) przez $ \left(\frac{\sqrt{5}}{2}x\right)^2.$ $ S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (2n+3)\left(\frac{\sqrt{5}}{2}x\right)^{2n} = \frac{100\sqrt{5}}{320x\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right)^2}=\frac{5\sqrt{5}}{16x\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right)^2} .$ Wiadomość była modyfikowana 2016-05-15 22:42:02 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj