Analiza matematyczna, zadanie nr 4548
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kamwik96 post贸w: 52 |  2016-05-15 12:43:42Wyznacz sum臋 szeregu: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^n(2n+3)}{4^n}x^{2n}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-15 14:19:56 $\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n(2n+3)= \sum_{n=0}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n(2n+3)-3= \sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)-3$ (powy偶ej zmienili艣my indeksy na liczone od 0, ale odj臋li艣my wyraz zerowy, a potem zmienili艣my zn贸w indeksy na od 1, ale odj臋li艣my t臋 jedynk臋 od n we wzorze) oraz $\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n(2n+3)= \sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n(2n+1)+\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n*2= \frac{5x^2}{4}*\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)+\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n*2$ (tu podzielili艣my sum臋 na dwie sumy, a z jednej z nich wy艂膮czyli艣my sta艂膮 przed znak sumy) I ostatecznie $\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)-3= \frac{5x^2}{4}*\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)+\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n*2$ czyli $\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)- \frac{5x^2}{4}*\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)=3+\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^n*2$ a sum臋 po prawej umiemy policzy膰 (geometryczny). Wobec tego umiemy te偶 policzy膰 $(1- \frac{5x^2}{4})*\sum_{n=1}^\infty (\frac{5x^2}{4})^{n-1}(2n+1)$ a wynik dzielimy przez pocz膮tkowy nawias i wstawiamy do pierwszej linii. Oddzielnie rozpatrujemy par臋 szczeg贸lnych przypadk贸w, np gdy przez ten nawias podzieli膰 nie mo偶emy. |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-05-15 21:39:32 Mo偶na te偶 1. Obliczy膰 promie艅 zbie偶no艣ci szeregu $ R = [\lim_{n\to \infty}\sqrt[2n]{a_{n}}]^{-1}$ $ R = \frac{2}{\sqrt{5}}.$ 2.Uwzgl臋dni膰 szereg geometryczny $ g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}x \right)^{2n+3}, \ \ x\in (-\frac{2}{\sqrt{5}},\ \ \frac{2}{\sqrt{5}}) $ i jego sum臋 $s(x)= \frac{25\sqrt{5}}{32(1-\frac{5}{4}x^2)}.$ 3.Zr贸偶niczkowa膰 $ g $ i $s $ wyraz po wyrazie dla $x\in(-\frac{2}{\sqrt{5}},\ \ \frac{2}{\sqrt{5}}).$ $g\'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(2n+3)\left(\frac{\sqrt{5}}{2}x\right)^{2n+2} = \frac{125\sqrt{5}x}{64\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right)^2}$(1) 4 . Podzieli膰 obie strony r贸wnania (1) przez $ \left(\frac{\sqrt{5}}{2}x\right)^2.$ $ S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (2n+3)\left(\frac{\sqrt{5}}{2}x\right)^{2n} = \frac{100\sqrt{5}}{320x\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right)^2}=\frac{5\sqrt{5}}{16x\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right)^2} .$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-05-15 22:42:02 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj