Topologia, zadanie nr 4551

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
karolinam postów: 23	2016-05-16 00:14:39 Zadanie: a)Pokazać, że skończona suma zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem nigdziegęstym. b)Podać przykład przeliczalnej sumy niepustych zbiorów nigdziegęstych będącej zbiorem gęstym. c)Pokazać, że suma zbioru brzegowego i nigdziegęstego jest zbiorem brzegowym. d) Czy suma dwu zbiorów brzegowych jest zawsze zbiorem brzegowym? Teoria: 1) BdA=cl(A)$\cap$cl(X\A) 2)A-brzegowy w X, gdy cl(X\A)=X 3)A-gęsty w X, gdy cl(A)=X 4)*-pkt.skupienia zbioru A $\iff$ x$\in$cl(A\{x}) 5)$A^{d}$-zbiór punktów skupienia 6)x-izolowany w A$\iff$nie jest punktem skupienia 7)x-punkt skupienia w A$\iff$$\forall_{x \in U \in O}$ {x}$\neq$U$\cap$A$\neq \emptyset$ 8)x-izolowany w A$\iff$$\exists_{U\in O}$ U$\cap$A={x}

tumor postów: 8070	2016-05-16 07:36:46 Dodajmy jeszcze ciut teorii 2) jeśli $cl (X\backslash A)=X$, to z praw de Morgana i własności wnętrza i dopełnienia mamy $int A=\emptyset$ 9) zbiór nazywamy nigdziegęstym, gdy jest brzegowy także po domknięciu, czyli gdy $int (cl A)=\emptyset$, równoważnie $cl (int(X\backslash A))=X$ a) wystarczy pokazać dla sumy dwóch zbiorów, suma n zbiorów wychodzi przez powtarzanie sumy dla dwóch Przypuśćmy, że A,B są nigdziegęste, ale $A\cup B$ nie. Czyli istnieje otwarty niepusty U taki że $U\subset cl(A\cup B)$. Oczywiście $A\cup B \subset clA\cup cl B$, czyli $U\subset clA\cup cl B$ Nie może być $U\subset cl A$ (bo $int(clA)=\emptyset$), wobec tego $V=U\cap (clA)` \subset clB$ niepusty, ale $V=U\cap (clA`)$ otwarty jako przekrój otwartych, wobec tego $V\subset clB$ przeczy $int(cl B)=\emptyset$. b) Q jest przeliczalną sumą zbiorów jednopunktowych, bez trudu pokazujemy, że są nigdziegęste c) rozumowanie jak w a) B-brzegowy A-nigdziegęsty przypuśćmy $U\subset B\cup clA$, $U$ otwarty niepusty. Wobec tego, że nie może być $U\subset cl A$, niepusty otwarty jest $V=U\cap (clA)`$, ale wtedy $V\subset B$, co prawdą być nie może d) wymierne i niewymierne to zbiory brzegowe

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj