Topologia, zadanie nr 4551
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
karolinam post贸w: 23 |  2016-05-16 00:14:39Zadanie: a)Pokaza膰, 偶e sko艅czona suma zbior贸w nigdzieg臋stych jest zbiorem nigdzieg臋stym. b)Poda膰 przyk艂ad przeliczalnej sumy niepustych zbior贸w nigdzieg臋stych b臋d膮cej zbiorem g臋stym. c)Pokaza膰, 偶e suma zbioru brzegowego i nigdzieg臋stego jest zbiorem brzegowym. d) Czy suma dwu zbior贸w brzegowych jest zawsze zbiorem brzegowym? Teoria: 1) BdA=cl(A)$\cap$cl(X\A) 2)A-brzegowy w X, gdy cl(X\A)=X 3)A-g臋sty w X, gdy cl(A)=X 4)*-pkt.skupienia zbioru A $\iff$ x$\in$cl(A\{x}) 5)$A^{d}$-zbi贸r punkt贸w skupienia 6)x-izolowany w A$\iff$nie jest punktem skupienia 7)x-punkt skupienia w A$\iff$$\forall_{x \in U \in O}$ {x}$\neq$U$\cap$A$\neq \emptyset$ 8)x-izolowany w A$\iff$$\exists_{U\in O}$ U$\cap$A={x} |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-16 07:36:46 Dodajmy jeszcze ciut teorii 2) je艣li $cl (X\backslash A)=X$, to z praw de Morgana i w艂asno艣ci wn臋trza i dope艂nienia mamy $int A=\emptyset$ 9) zbi贸r nazywamy nigdzieg臋stym, gdy jest brzegowy tak偶e po domkni臋ciu, czyli gdy $int (cl A)=\emptyset$, r贸wnowa偶nie $cl (int(X\backslash A))=X$ a) wystarczy pokaza膰 dla sumy dw贸ch zbior贸w, suma n zbior贸w wychodzi przez powtarzanie sumy dla dw贸ch Przypu艣膰my, 偶e A,B s膮 nigdzieg臋ste, ale $A\cup B$ nie. Czyli istnieje otwarty niepusty U taki 偶e $U\subset cl(A\cup B)$. Oczywi艣cie $A\cup B \subset clA\cup cl B$, czyli $U\subset clA\cup cl B$ Nie mo偶e by膰 $U\subset cl A$ (bo $int(clA)=\emptyset$), wobec tego $V=U\cap (clA)` \subset clB$ niepusty, ale $V=U\cap (clA`)$ otwarty jako przekr贸j otwartych, wobec tego $V\subset clB$ przeczy $int(cl B)=\emptyset$. b) Q jest przeliczaln膮 sum膮 zbior贸w jednopunktowych, bez trudu pokazujemy, 偶e s膮 nigdzieg臋ste c) rozumowanie jak w a) B-brzegowy A-nigdzieg臋sty przypu艣膰my $U\subset B\cup clA$, $U$ otwarty niepusty. Wobec tego, 偶e nie mo偶e by膰 $U\subset cl A$, niepusty otwarty jest $V=U\cap (clA)`$, ale wtedy $V\subset B$, co prawd膮 by膰 nie mo偶e d) wymierne i niewymierne to zbiory brzegowe |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj