Topologia, zadanie nr 4552

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
karolinam postów: 23	2016-05-16 00:54:05 Zadanie: 1) Pokazać, że jeśli w przestrzeni $T_{1}$ każdy przekrój zbiorów otwartych jest otwarty, to przestrzeń ma topologię dyskretną. 2)Pokazać, że w przestrzeni $T_{1}$ pochodna zbioru jest zbiorem domkniętym. 3)Niech A i B będą rozłącznymi podzbiorami zwartymi w przestrzeni X typu $T_{2}$. Pokazać, że istnieją rozłączne zbiory otwarte G i H takie, że A$\subset$G i B$\subset$H 4)Pokazać, że w przestrzeni topologicznej X typu $T_{3}$ można oddzielać otwartymi zbiorami rozłącznymi zbiory domknięte od zbiorów zwartych. Teoria: X-przestrzeń topologiczna: x$\in T_{1} \iff \forall_{x_{1},x_{2}\in X; x_{1}\neq x_{2}}$ $\exists_{U\in O}$ $x_{1}\in U \wedge x_{2}\notin U$ x$\in T_{2} \iff$$\forall_{x_{1},x_{2}\in X; x_{1}\neq x_{2}}$ $\exists_{U_{1},U_{2}\in O}$ $x_{1}\in U_{1} \wedge x_{2}\in U_{2} \wedge U_{1}\cap U_{2} = \emptyset$ x$\in T_{3} \iff$ x$\in T_{1} \wedge \forall_{x_{0}\in X}$ $\forall_{x_{0}\notin A = cl(A)\subset X}$ $\exists_{U_{1}, U_{2} \in O}$ $x_{0} \in U_{1}\wedge A\subset U_{2}\wedge U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$

tumor postów: 8070	2016-05-16 07:47:07 1) Niech X będzie przestrzenią $T_1$, a $x_1 \in X$. Wtedy dla każdego $x\neq x_1$ istnieje $U_{x}$ takie, że $x_1\in U_{x}$ oraz $x\notin U_x$. Niech zatem $V_{x_1}=\bigcap_{x\in X\backslash \{x_1\}}U_x$, wtedy $V_{x_1}$ jest otwarty jako przekrój zbiorów otwartych, ale $V_{x_1}=\{x_1\}$. Punkt $x_1$ był dobrany dowolnie, czyli każdy zbiór jednopunktowy jest otwarty. Wiadomość była modyfikowana 2016-05-16 07:47:50 przez tumor

tumor postów: 8070	2016-05-16 08:16:31 2) Pochodna ma być domknięta, czyli jej dopełnienie otwarte. Przypuśćmy, że $X\backslash A^d$ nie jest zbiorem otwartym, czyli istnieje $x\in X\backslash A^d$, którego każde otoczenie U ma część wspólną z $A^d$. niech będzie $y\in U\cap A^d$. ale skoro $y\in A^d$, to każde jego otoczenie, w tym U, ma jeszcze jakiś różny od y punkt wspólny z A. Jednakże z warunku $T_1$ dostajemy, że y ma otoczenie V takie, że $x \notin V$. Wtedy $V\cap U$ jest otoczeniem y takim, że znajduje się tam różny od y (i od x) element zbioru A. Skoro $V\cap U\subset U$, to każde otoczenie x ma punkt wspólny z A. $x\in A^d$, co przeczy założeniu.

tumor postów: 8070	2016-05-16 09:16:36 3) podejrzewam, że zbiory zwarte definiujemy jako te, z których pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone Jeśli A jest zwarty i $x\notin A$, to każdy $y\in A$ ma rozłączne otoczenie z pewnym otoczeniem $x$. Otoczenia te tworzą pokrycie A, można wybrać podpokrycie skończone $U_1,...,U_n$, natomiast x ma otoczenia $V_1,...,V_n$ takie, że $U_k$ rozłączne z $V_k$ dla $k=1,2,...,n$. Przekrój $V_x=\bigcap V_i$ jest otoczeniem x rozłącznym z każdym $U_i$, zatem także z sumą $G_x=\bigcup U_i$. mamy zatem otoczenie $V_x$ punktu x rozłączne z otoczeniem $G_x$ zbioru zwartego A. Jeśli zastosujemy podobny manewr po raz drugi, czyli weźmiemy wszystkie $x\in B$, dla każdego z nich zrobimy $V_x$ rozłączne z pewnym $G_x$, to zbiory $V_x$ po $x\in B$ stanowić będą pokrycie zbioru B, możemy wybrać podpokrycie skończone $V_{x_1},...,V_{x_m}$ i odpowiadające mu zbiory $G_{x_1},...,G_{x_m}$, wtedy $G=\bigcap G_{x_i}$ jest zbiorem otwartym, $A\subset G$ i $G$ rozłączny z każdym $V_{x_i}$, wobec tego także z $F=\bigcup V_{x_i}$, no i $B\subset F$ 4) analogicznie do 3), ale łatwiej jeśli A zwarty i D domknięty, to weźmy $x\in A$. Istnieje $U_x$ otoczenie x i $V_x$ otoczenie D, które są rozłączne. Zbiory $U_x$ stanowią pokrycie zbioru A, wybieramy podpokrycie skończone $U_1,...,U_n$ i odpowiadające mu zbiory $V_1,...,V_n$. $D\subset V=\bigcap V_i$ $A\subset U=\bigcup U_i$ oczywiście U i V otwarte rozłączne.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj