Topologia, zadanie nr 4552
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
karolinam post贸w: 23 |  2016-05-16 00:54:05Zadanie: 1) Pokaza膰, 偶e je艣li w przestrzeni $T_{1}$ ka偶dy przekr贸j zbior贸w otwartych jest otwarty, to przestrze艅 ma topologi臋 dyskretn膮. 2)Pokaza膰, 偶e w przestrzeni $T_{1}$ pochodna zbioru jest zbiorem domkni臋tym. 3)Niech A i B b臋d膮 roz艂膮cznymi podzbiorami zwartymi w przestrzeni X typu $T_{2}$. Pokaza膰, 偶e istniej膮 roz艂膮czne zbiory otwarte G i H takie, 偶e A$\subset$G i B$\subset$H 4)Pokaza膰, 偶e w przestrzeni topologicznej X typu $T_{3}$ mo偶na oddziela膰 otwartymi zbiorami roz艂膮cznymi zbiory domkni臋te od zbior贸w zwartych. Teoria: X-przestrze艅 topologiczna: x$\in T_{1} \iff \forall_{x_{1},x_{2}\in X; x_{1}\neq x_{2}}$ $\exists_{U\in O}$ $x_{1}\in U \wedge x_{2}\notin U$ x$\in T_{2} \iff$$\forall_{x_{1},x_{2}\in X; x_{1}\neq x_{2}}$ $\exists_{U_{1},U_{2}\in O}$ $x_{1}\in U_{1} \wedge x_{2}\in U_{2} \wedge U_{1}\cap U_{2} = \emptyset$ x$\in T_{3} \iff$ x$\in T_{1} \wedge \forall_{x_{0}\in X}$ $\forall_{x_{0}\notin A = cl(A)\subset X}$ $\exists_{U_{1}, U_{2} \in O}$ $x_{0} \in U_{1}\wedge A\subset U_{2}\wedge U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$ |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-16 07:47:07 1) Niech X b臋dzie przestrzeni膮 $T_1$, a $x_1 \in X$. Wtedy dla ka偶dego $x\neq x_1$ istnieje $U_{x}$ takie, 偶e $x_1\in U_{x}$ oraz $x\notin U_x$. Niech zatem $V_{x_1}=\bigcap_{x\in X\backslash \{x_1\}}U_x$, wtedy $V_{x_1}$ jest otwarty jako przekr贸j zbior贸w otwartych, ale $V_{x_1}=\{x_1\}$. Punkt $x_1$ by艂 dobrany dowolnie, czyli ka偶dy zbi贸r jednopunktowy jest otwarty. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-05-16 07:47:50 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-16 08:16:31 2) Pochodna ma by膰 domkni臋ta, czyli jej dope艂nienie otwarte. Przypu艣膰my, 偶e $X\backslash A^d$ nie jest zbiorem otwartym, czyli istnieje $x\in X\backslash A^d$, kt贸rego ka偶de otoczenie U ma cz臋艣膰 wsp贸ln膮 z $A^d$. niech b臋dzie $y\in U\cap A^d$. ale skoro $y\in A^d$, to ka偶de jego otoczenie, w tym U, ma jeszcze jaki艣 r贸偶ny od y punkt wsp贸lny z A. Jednak偶e z warunku $T_1$ dostajemy, 偶e y ma otoczenie V takie, 偶e $x \notin V$. Wtedy $V\cap U$ jest otoczeniem y takim, 偶e znajduje si臋 tam r贸偶ny od y (i od x) element zbioru A. Skoro $V\cap U\subset U$, to ka偶de otoczenie x ma punkt wsp贸lny z A. $x\in A^d$, co przeczy za艂o偶eniu. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-16 09:16:36 3) podejrzewam, 偶e zbiory zwarte definiujemy jako te, z kt贸rych pokrycia otwartego mo偶na wybra膰 podpokrycie sko艅czone Je艣li A jest zwarty i $x\notin A$, to ka偶dy $y\in A$ ma roz艂膮czne otoczenie z pewnym otoczeniem $x$. Otoczenia te tworz膮 pokrycie A, mo偶na wybra膰 podpokrycie sko艅czone $U_1,...,U_n$, natomiast x ma otoczenia $V_1,...,V_n$ takie, 偶e $U_k$ roz艂膮czne z $V_k$ dla $k=1,2,...,n$. Przekr贸j $V_x=\bigcap V_i$ jest otoczeniem x roz艂膮cznym z ka偶dym $U_i$, zatem tak偶e z sum膮 $G_x=\bigcup U_i$. mamy zatem otoczenie $V_x$ punktu x roz艂膮czne z otoczeniem $G_x$ zbioru zwartego A. Je艣li zastosujemy podobny manewr po raz drugi, czyli we藕miemy wszystkie $x\in B$, dla ka偶dego z nich zrobimy $V_x$ roz艂膮czne z pewnym $G_x$, to zbiory $V_x$ po $x\in B$ stanowi膰 b臋d膮 pokrycie zbioru B, mo偶emy wybra膰 podpokrycie sko艅czone $V_{x_1},...,V_{x_m}$ i odpowiadaj膮ce mu zbiory $G_{x_1},...,G_{x_m}$, wtedy $G=\bigcap G_{x_i}$ jest zbiorem otwartym, $A\subset G$ i $G$ roz艂膮czny z ka偶dym $V_{x_i}$, wobec tego tak偶e z $F=\bigcup V_{x_i}$, no i $B\subset F$ 4) analogicznie do 3), ale 艂atwiej je艣li A zwarty i D domkni臋ty, to we藕my $x\in A$. Istnieje $U_x$ otoczenie x i $V_x$ otoczenie D, kt贸re s膮 roz艂膮czne. Zbiory $U_x$ stanowi膮 pokrycie zbioru A, wybieramy podpokrycie sko艅czone $U_1,...,U_n$ i odpowiadaj膮ce mu zbiory $V_1,...,V_n$. $D\subset V=\bigcap V_i$ $A\subset U=\bigcup U_i$ oczywi艣cie U i V otwarte roz艂膮czne. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj