Topologia, zadanie nr 4560

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mate_matykaa postów: 117	2016-05-17 23:03:09 zad.1 Niech (X,$d_{1}$),(Y,$d_{2}$) będą przestrzeniami metrycznymi.udowodnij, ze dla dowolnej bijekcji f:X->Y równoważne są nastepujace warunki: 1)funkcja f jest homeomorfizmem 2)$\forall_{}$ A$\subset$X f(cl A)=cl f(A) 3)$\forall_{}$ A$\subset$X f(int A)=int f(A) clA domkniecie, intA wnętrze zad.2 Niech (X,$d_{1}$),(Y,$d_{2}$) będą przestrzeniami metrycznymi,$D_{d1}$,$D_{d2}$ rodzinami zbiorów domknietych w X i Y. udowodnij, ze dla dowolnej funkcji f:X->Y nastepujące warunki są rownoważne: 1)funkcja f jest ciągła, 2)$\forall_{}$B$\in$$D_{d1}$ $f^{-1}$(B)$\in$$D_{d1}$ 3)$\forall_{}$ A$\subset$X f(cl A)$\subset$cl f(A) 4)$\forall_{}$B$\subset$Y cl $f^{-1}$(B)$\subset$$f^{-1}$(cl B) 5)$\forall_{}$B$\subset$Y $f^{-1}$(int B)$\subset$int$f^{-1}$(B) Bardziej zależy mi na zad.2...prosze o pomoc :)

tumor postów: 8070	2016-05-18 09:06:55 Zadanie 2. $1 \Rightarrow 2$ Jeśli przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte, to przeciwobrazy zbiorów domkniętych są domknięte (przeciwobrazy dopełnień to dopełnienia przeciwobrazów). (oczywistym wnioskiem jest $2 \Rightarrow 1$ ) $2 \Rightarrow 3$ Mamy $2 \Rightarrow 1$, zrobimy $1 \Rightarrow 3$ jeśli $x\in A$ to oczywiście $f(x)\in cl f(A)$ Weźmy $x\in cl A\backslash A$, czyli każde otoczenie punktu x ma punkt wspólny z A. Wobec tego $f(x) \in cl f(A)$, bo gdyby nie, to istniałoby U otoczenie x, że $f(U)\subset(clf(A))`\subset (f(A))`$, czyli U nie ma punktów wspólnych z A. (Korzystamy z takiego rozumienia warunku 1): gdy $V\subset Y$ otwarty niepusty, $f(x) \in V$, to istnieje otoczenie U punktu $x\in X$ takie, że $f(U)\subset V$) $3 \Rightarrow 4$ mamy $x\in cl A \Rightarrow f(x)\in cl f(A)$ Niech $x\in cl f^{-1}(B)$ i niech $A=f^{-1}(B)$, wtedy $f(x) \in cl f(f^{-1}(B))\subset cl (B)$, a skoro $f(x)\in cl B$, to $x\in f^{-1}(clB)$ $4 \Rightarrow 5$ wystarczy $(clB)`=int(B`)$ $5\Rightarrow 1$ Niech B jest zbiorem otwartym, czyli $B=int B$. Niech $x\in f^{-1}(B)=f^{-1}(int B)\subset U=int f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B)$ czyli istnieje otwarte otoczenie U punktu x takie, że $x\in U\subset f^{-1}(B)$, czyli $f^{-1}(B)$ otwarty.

tumor postów: 8070	2016-05-18 09:32:07 Zadanie 1. dla bijekcji $f(f^{-1}(A))=A$ oraz $f^{-1}(f(A))=A$ $1\Rightarrow 2$ Bijekcja f jest homeomorfizmem, gdy $f$ i $f^{-1}$ są ciągłe. Mamy zatem (z poprzedniego zadania) $f(clA)\subset clf(A)$ oraz $f^{-1}(clB)\subset clf^{-1}(B)$ więc $f(clA)\subset clf(A)=f(f^{-1}(clf(A)))\subset f(clf^{-1}(f(A)))=f(clA)$ warunki 2 i 3 są równoważne na mocy dualności wnętrza i domknięcia $(intA)`=cl(A`)$ $2\Rightarrow 1$ 2) z zadania 1 implikuje od razu 3) z zadania 2, wobec tego $f$ ciągła. $f^{-1}(clA)=f^{-1}(clf(f^{-1}(A)))=f^{-1}(f(clf^{-1}(A)))=clf^{-1}(A)$ co znów z warunku 3) zadania drugiego mówi, że $f^{-1}$ ciągła.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj