Topologia, zadanie nr 4560
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mate_matykaa post贸w: 117 |  2016-05-17 23:03:09zad.1 Niech (X,$d_{1}$),(Y,$d_{2}$) b臋d膮 przestrzeniami metrycznymi.udowodnij, ze dla dowolnej bijekcji f:X->Y r贸wnowa偶ne s膮 nastepujace warunki: 1)funkcja f jest homeomorfizmem 2)$\forall_{}$ A$\subset$X f(cl A)=cl f(A) 3)$\forall_{}$ A$\subset$X f(int A)=int f(A) clA domkniecie, intA wn臋trze zad.2 Niech (X,$d_{1}$),(Y,$d_{2}$) b臋d膮 przestrzeniami metrycznymi,$D_{d1}$,$D_{d2}$ rodzinami zbior贸w domknietych w X i Y. udowodnij, ze dla dowolnej funkcji f:X->Y nastepuj膮ce warunki s膮 rownowa偶ne: 1)funkcja f jest ci膮g艂a, 2)$\forall_{}$B$\in$$D_{d1}$ $f^{-1}$(B)$\in$$D_{d1}$ 3)$\forall_{}$ A$\subset$X f(cl A)$\subset$cl f(A) 4)$\forall_{}$B$\subset$Y cl $f^{-1}$(B)$\subset$$f^{-1}$(cl B) 5)$\forall_{}$B$\subset$Y $f^{-1}$(int B)$\subset$int$f^{-1}$(B) Bardziej zale偶y mi na zad.2...prosze o pomoc :) |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-18 09:06:55 Zadanie 2. $1 \Rightarrow 2$ Je艣li przeciwobrazy zbior贸w otwartych s膮 otwarte, to przeciwobrazy zbior贸w domkni臋tych s膮 domkni臋te (przeciwobrazy dope艂nie艅 to dope艂nienia przeciwobraz贸w). (oczywistym wnioskiem jest $2 \Rightarrow 1$ ) $2 \Rightarrow 3$ Mamy $2 \Rightarrow 1$, zrobimy $1 \Rightarrow 3$ je艣li $x\in A$ to oczywi艣cie $f(x)\in cl f(A)$ We藕my $x\in cl A\backslash A$, czyli ka偶de otoczenie punktu x ma punkt wsp贸lny z A. Wobec tego $f(x) \in cl f(A)$, bo gdyby nie, to istnia艂oby U otoczenie x, 偶e $f(U)\subset(clf(A))`\subset (f(A))`$, czyli U nie ma punkt贸w wsp贸lnych z A. (Korzystamy z takiego rozumienia warunku 1): gdy $V\subset Y$ otwarty niepusty, $f(x) \in V$, to istnieje otoczenie U punktu $x\in X$ takie, 偶e $f(U)\subset V$) $3 \Rightarrow 4$ mamy $x\in cl A \Rightarrow f(x)\in cl f(A)$ Niech $x\in cl f^{-1}(B)$ i niech $A=f^{-1}(B)$, wtedy $f(x) \in cl f(f^{-1}(B))\subset cl (B)$, a skoro $f(x)\in cl B$, to $x\in f^{-1}(clB)$ $4 \Rightarrow 5$ wystarczy $(clB)`=int(B`)$ $5\Rightarrow 1$ Niech B jest zbiorem otwartym, czyli $B=int B$. Niech $x\in f^{-1}(B)=f^{-1}(int B)\subset U=int f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B)$ czyli istnieje otwarte otoczenie U punktu x takie, 偶e $x\in U\subset f^{-1}(B)$, czyli $f^{-1}(B)$ otwarty. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-18 09:32:07 Zadanie 1. dla bijekcji $f(f^{-1}(A))=A$ oraz $f^{-1}(f(A))=A$ $1\Rightarrow 2$ Bijekcja f jest homeomorfizmem, gdy $f$ i $f^{-1}$ s膮 ci膮g艂e. Mamy zatem (z poprzedniego zadania) $f(clA)\subset clf(A)$ oraz $f^{-1}(clB)\subset clf^{-1}(B)$ wi臋c $f(clA)\subset clf(A)=f(f^{-1}(clf(A)))\subset f(clf^{-1}(f(A)))=f(clA)$ warunki 2 i 3 s膮 r贸wnowa偶ne na mocy dualno艣ci wn臋trza i domkni臋cia $(intA)`=cl(A`)$ $2\Rightarrow 1$ 2) z zadania 1 implikuje od razu 3) z zadania 2, wobec tego $f$ ci膮g艂a. $f^{-1}(clA)=f^{-1}(clf(f^{-1}(A)))=f^{-1}(f(clf^{-1}(A)))=clf^{-1}(A)$ co zn贸w z warunku 3) zadania drugiego m贸wi, 偶e $f^{-1}$ ci膮g艂a. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj