Topologia, zadanie nr 4561

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mate_matykaa postów: 117	2016-05-18 10:55:02 hej:) sprawdzi ktoś czy dobrze mysle i mam to dobrze zrobione? :D wykazać ze dla dowolnych podzbiorów A,B przestrzeni metrycznejV zachodza równości: intA=X\cl(X\A), clB=X\int(X\B). ust. A$\subset$X, B$\subset$X B:=X\A $\iff$ A:=X\B clB=cl(X\A) X\clB=X\(cl(X\A)) X\(X\int(X\B))=X\(cl(X\A)) X\(X\intA)=X\(cl(X\A)) intA=X\(cl(X\A)) (stosując drugą równośc doszłam do pierwszej) intA=int(X\B) X\cl(X\A)=int(X\B) X\clB=int(X\B) X\(X\clB)=X\int(X\B) clB=X\int(X\B) (stosując pierwszą równośc doszłam do drugiej) czy to o to chodziło?

tumor postów: 8070	2016-05-18 11:03:03 :D przezabawne. A skąd wiesz, że druga równość jest poprawna, skoro zaczynasz od dowodzenia pierwszej? Gdyby zamienić kolejność: skąd wiesz, że pierwsza będzie poprawna, jeśli zaczniesz od dowodzenia drugiej? Twój dowód pokazuje rzecz słuszną, że jeśli jedno z tych zdań jest prawdziwe, to i drugie. Ta równoważność to jednak tylko część dowodu. Na razie wiemy tylko, że oba zdania są prawdziwe lub oba fałszywe.

mate_matykaa postów: 117	2016-05-18 11:07:05 czyli, rozumiem, ze trzeba to inaczej :/ w takim razie jak się za to zabrac?

mate_matykaa postów: 117	2016-05-18 11:31:24 ajezeli by tak zrobić? (zbior jest domkniety gdy jego dopiełnienie jest zb otwartym) clB=intX\B clB=clX\A intX\B=clX\A intA=clX\A ? ale jak doprowazic, zeby intA=X\cl(X\A) ?jakaś sprzecznośc wychodzi :/ ..juz nie mam pomysłu..

tumor postów: 8070	2016-05-18 11:32:30 Właśnie nie wiem, czy rozumiesz. Poczytaj, co to błędne koło. Co najmniej jedną z tych równości musisz udowodnić bez używania drugiej. Udowodnimy $X\backslash clA=int(X\backslash A)$ Oprzeć się możemy na wcześniej udowodnionych własnościach, np. dopełnienie zbioru otwartego jest zbiorem domkniętym, domknięcie jest monotoniczne ($G\subset F \Rightarrow clG\subset clF$), wnętrze jest monotoniczne, $intA\subset A \subset cl A$ (co wynika z definicji wnętrza i domknięcia). $A\subset clA$ wobec tego $X\backslash cl A \subset X\backslash A$ zbiór po lewej jest otwarty, zatem $X\backslash cl A \subset int (X\backslash A)$ $int B\subset B$ $X\backslash B \subset X\backslash int B$ zbiór po prawej jest domknięty, wobec tego $cl(X\backslash B)\subset X\backslash int B$ $int B \subset X\backslash cl (X\backslash B)$ i stosując $B=X\backslash A$ mamy $int (X\backslash A) \subset X\backslash clA$ ---- Przy tym bardzo mocno zauważam, że z własności, którą udowodniliśmy w tym zadaniu, korzystałem już w dowodach, które robiliśmy wcześniej. Druga rzecz, którą muszę zauważyć: dowód powyższy jest prawdziwy dla przestrzeni topologicznych. Przestrzenie metryczne to tylko część przestrzeni topologicznych. Wobec tego dowód powyżej jest lepszy niż wymagany na zajęcia, ale pod warunkiem, że się umie pokazać, że przestrzenie metryczne są topologiczne. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj