Analiza matematyczna, zadanie nr 4566
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
ononon post贸w: 7 |  2016-05-18 20:55:55czesc, mam problem z rozwi膮zaniem zada艅 z analizy wektorowej. Czy kto艣 m贸g艂by mi pom贸c? 1. Zbada膰, czy zbi贸r S={(x,y,z)$\in$$R^{3}$: $x^{2}$+$y^{2}$= 1, x+y+z=0} jest rozmaito艣ci膮. Je艣li tak, to wyznaczy膰 jej wymiar oraz znale藕膰 T(p,S) i N(p,S), gdzie p=(1,0,1). 2.Obliczy膰 ca艂k臋 krzywoliniow膮 niezorientowan膮 $\int_{\gamma}$(x-$y^{2}$)dl, gdzie $\gamma$ - odcinek o pocz膮tku (0,1) i ko艅cu (2,2). Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-05-18 21:02:43 przez ononon |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-05-19 14:35:24 1. Zbi贸r$ S$ jest cz臋艣ci膮 wsp贸ln膮 powierzchni jednostkowego walca i p艂aszczyzny. Naj艂atwiej, aby sprawdzi膰 czy $ S $ jest rozmaito艣ci膮- korzysta si臋 z twierdzenia o funkcji uwik艂anej. Zapisujemy r贸wnanie zbioru $ S $ w postaci uwik艂anej $ (x+y)^2 =1+2xy, \ \ z^2 = 1+2xy.$ $ F(x,y,z) = 2xy - z^2 +1.$ Znajdujemy wektor gradientu $\Delta f(x,y,z) = \left[\begin{matrix}2y\\2x\\-2z\end{matrix}\right]$ i stwierdzamy, 偶e dla $R^3\setminus (0,0,0)$ ma rz膮d pe艂ny. Z twierdzenia o funkcji uwik艂anej wynika, 偶e w ka偶dym punkcie zbioru $ S $ mo偶na okre艣li膰 map臋, czyli zbi贸r ten jest rozmaito艣ci膮. R贸wnanie p艂aszczyzny stycznej do rozmaito艣ci $S$ w punkcie $p=(1,0,1)$ $T_{(1,0,1)}(S): \left[\begin{matrix} 0\\2\\-2 \end{matrix}\right]\cdot [x-1, y-0, z-1] = 0.$ $0(x-1)+2(y-0)-2(z-1)=0, \ \ 2y -2z +2 =0.$ Wektorem normalnym do wektora gradientu (stycznym do $ S $ w punkcie $ p=(1, 0, 1)$) jest na przyk艂ad wektor $\Delta_{n}f(1,0, 1) = [1, 1, 1]^{T}.$ R贸wnanie p艂aszczyzny normalnej do rozmaito艣ci $ S $ w punkcie $p= (1,0,1)$ $N_{(1,0,1)}(S): \left[\begin{matrix}1 \\1\\1 \end{matrix}\right]\cdot [x-1, y-0, z-1] = 0.$ $ 1(x-1)+1(y-0), 1(z-1)=0, \ \ x+ y + z -2 = 0.$ 2. Parametryzacja odcinka o ko艅cach w punktach: $(0,1),(2,2)$ $\gamma(t)=[(0,1)+ (2-0, 2-1)t,\ \ t\in<0,1>]= [2t,\ \ 1+t, \ \ t\in<0,1>].$ $\int_{\gamma}(x-y^2)dl = \int_{0}^{1}([2t-(1+t)^2]\sqrt{2^2+1^2}dt =-\sqrt{5}\int_{0}^{1}(1+t^2)dt=...$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj