Analiza matematyczna, zadanie nr 4566

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ononon postów: 7	2016-05-18 20:55:55 czesc, mam problem z rozwiązaniem zadań z analizy wektorowej. Czy ktoś mógłby mi pomóc? 1. Zbadać, czy zbiór S={(x,y,z)$\in$$R^{3}$: $x^{2}$+$y^{2}$= 1, x+y+z=0} jest rozmaitością. Jeśli tak, to wyznaczyć jej wymiar oraz znaleźć T(p,S) i N(p,S), gdzie p=(1,0,1). 2.Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną $\int_{\gamma}$(x-$y^{2}$)dl, gdzie $\gamma$ - odcinek o początku (0,1) i końcu (2,2). Wiadomość była modyfikowana 2016-05-18 21:02:43 przez ononon

janusz78 postów: 820	2016-05-19 14:35:24 1. Zbiór$ S$ jest częścią wspólną powierzchni jednostkowego walca i płaszczyzny. Najłatwiej, aby sprawdzić czy $ S $ jest rozmaitością- korzysta się z twierdzenia o funkcji uwikłanej. Zapisujemy równanie zbioru $ S $ w postaci uwikłanej $ (x+y)^2 =1+2xy, \ \ z^2 = 1+2xy.$ $ F(x,y,z) = 2xy - z^2 +1.$ Znajdujemy wektor gradientu $\Delta f(x,y,z) = \left[\begin{matrix}2y\\2x\\-2z\end{matrix}\right]$ i stwierdzamy, że dla $R^3\setminus (0,0,0)$ ma rząd pełny. Z twierdzenia o funkcji uwikłanej wynika, że w każdym punkcie zbioru $ S $ można określić mapę, czyli zbiór ten jest rozmaitością. Równanie płaszczyzny stycznej do rozmaitości $S$ w punkcie $p=(1,0,1)$ $T_{(1,0,1)}(S): \left[\begin{matrix} 0\\2\\-2 \end{matrix}\right]\cdot [x-1, y-0, z-1] = 0.$ $0(x-1)+2(y-0)-2(z-1)=0, \ \ 2y -2z +2 =0.$ Wektorem normalnym do wektora gradientu (stycznym do $ S $ w punkcie $ p=(1, 0, 1)$) jest na przykład wektor $\Delta_{n}f(1,0, 1) = [1, 1, 1]^{T}.$ Równanie płaszczyzny normalnej do rozmaitości $ S $ w punkcie $p= (1,0,1)$ $N_{(1,0,1)}(S): \left[\begin{matrix}1 \\1\\1 \end{matrix}\right]\cdot [x-1, y-0, z-1] = 0.$ $ 1(x-1)+1(y-0), 1(z-1)=0, \ \ x+ y + z -2 = 0.$ 2. Parametryzacja odcinka o końcach w punktach: $(0,1),(2,2)$ $\gamma(t)=[(0,1)+ (2-0, 2-1)t,\ \ t\in<0,1>]= [2t,\ \ 1+t, \ \ t\in<0,1>].$ $\int_{\gamma}(x-y^2)dl = \int_{0}^{1}([2t-(1+t)^2]\sqrt{2^2+1^2}dt =-\sqrt{5}\int_{0}^{1}(1+t^2)dt=...$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj