Geometria, zadanie nr 4567
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
kasiaiw postów: 50 | 2016-05-19 12:58:24 Czy taka definicja równoważności jest dobra: dwa wielokąty nazywamy wielokątami równoważnymi, jeżeli składają się z części odpowiednio do siebie przystających? Co to w ogóle jest ta równoważność? |
tumor postów: 8070 | 2016-05-19 13:16:55 Równoważność, na dobrą sprawę, możemy potraktować jak pewną relację (relację równoważności, ale tu w rozumieniu teorii mnogości) w zbiorze wielokątów. Chodzi o to, że wszystkie wielokąty możemy podzielić na zbiory wielokątów w taki sposób, że w jednym zbiorze każde dwa wielokąty są równoważne. Definicja intuicyjnie dobra, ale nieścisła, bo nie mówi jasno, co to "część", ani ile tych części może być. Warto ją poprawić, by mówiła o skończonej liczbie części i to części, które same są wielokątami. Przy tym patrzymy tu geometrycznie, a nie teoriomnogościowo, żebyśmy nie mieli problemu z mnożeniem albo usuwaniem krawędzi. |
kasiaiw postów: 50 | 2016-05-19 19:13:27 a jak wygląda to w praktyce, tzn jeśli mam np. podzielić dany równoległobok na 3 części równoważne prostymi równoległymi do przekątnej to jak to będzie wyglądać? |
tumor postów: 8070 | 2016-05-19 19:27:23 Równoważność to pojęcie geometryczne, które nie korzysta z teorii mnogości czy teorii miary - nowszych gałęzi matematyki. Taka geometria nie jest szczególnie użyteczna w dzisiejszej nauce, ale jak ją masz na studiach to zapewne po to, by uczyć myślenia i analizy problemu. To taka pierwsza uwaga. Gdy nie operowano jeszcze nowymi pojęciami matematycznymi, można było dowodzić, że pewne figury, poprzez dzielenie na części i łączenie w inny sposób, dają się przekształcać na inne figury. Można nawet udowodnić, że dwa wielokąty o równych polach są zawsze równoważne. Dowód polega na pokazaniu, że dwa prostokąty o równych polach są równoważne, każdy wielokąt można podzielić na trójkąty, a każdy trójkąt jest równoważny pewnemu prostokątowi. Te trzy fakty wystarczają, ale jak mówię: operujemy tu pojęciem pola (miary), a w konstrukcyjnych dowodach równoważności dwóch figur tego pojęcia nie potrzebujemy. Jeśli masz podzielić równoległobok na 3 części równoważne prostymi równoległymi do przekątnej, to zauważamy fakt: przekątna dzieli równoległobok na dwie części równoważne. Przy okazji to trójkąty. Musimy zatem odciąć trójkąty, których pola nie będą równe 1/2 pola równoległoboku (tak dzieli przekątna), ale równe 1/3 pola równoległoboku. Proste będą równoległe, czyli trójkąty będą podobne do wyjściowego. Pole ma być w skali $\frac{2}{3}$, czyli boki będą w skali $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. Zatem na bokach a,b musisz odłożyć odcinki o długościach $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a$ i $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}b $ zaczepione w wierzchołkach, przez które nie przechodzi przekątna. To powyżej nie jest dobrym rozumowaniem konstrukcyjnym, bo tak naprawdę ja wykorzystuję inne fakty, w tym pole, podobieństwo, a nie tylko fakty konstrukcyjne. Jeśli jednak wpiszesz w google "równoważność figur skrypt" albo "równoważność figur zadania", to trafisz na ciekawe długie artykuły pokazujące całe serie różnych konstrukcji. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj