logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 4567

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasiaiw
postów: 50
2016-05-19 12:58:24

Czy taka definicja równoważności jest dobra:
dwa wielokąty nazywamy wielokątami równoważnymi, jeżeli składają się z części odpowiednio do siebie przystających?
Co to w ogóle jest ta równoważność?


tumor
postów: 8070
2016-05-19 13:16:55

Równoważność, na dobrą sprawę, możemy potraktować jak pewną relację (relację równoważności, ale tu w rozumieniu teorii mnogości) w zbiorze wielokątów. Chodzi o to, że wszystkie wielokąty możemy podzielić na zbiory wielokątów w taki sposób, że w jednym zbiorze każde dwa wielokąty są równoważne.

Definicja intuicyjnie dobra, ale nieścisła, bo nie mówi jasno, co to "część", ani ile tych części może być.
Warto ją poprawić, by mówiła o skończonej liczbie części i to części, które same są wielokątami. Przy tym patrzymy tu geometrycznie, a nie teoriomnogościowo, żebyśmy nie mieli problemu z mnożeniem albo usuwaniem krawędzi.




kasiaiw
postów: 50
2016-05-19 19:13:27

a jak wygląda to w praktyce, tzn jeśli mam np. podzielić dany równoległobok na 3 części równoważne prostymi równoległymi do przekątnej to jak to będzie wyglądać?


tumor
postów: 8070
2016-05-19 19:27:23

Równoważność to pojęcie geometryczne, które nie korzysta z teorii mnogości czy teorii miary - nowszych gałęzi matematyki.
Taka geometria nie jest szczególnie użyteczna w dzisiejszej nauce, ale jak ją masz na studiach to zapewne po to, by uczyć myślenia i analizy problemu. To taka pierwsza uwaga.

Gdy nie operowano jeszcze nowymi pojęciami matematycznymi, można było dowodzić, że pewne figury, poprzez dzielenie na części i łączenie w inny sposób, dają się przekształcać na inne figury. Można nawet udowodnić, że dwa wielokąty o równych polach są zawsze równoważne. Dowód polega na pokazaniu, że dwa prostokąty o równych polach są równoważne, każdy wielokąt można podzielić na trójkąty, a każdy trójkąt jest równoważny pewnemu prostokątowi. Te trzy fakty wystarczają, ale jak mówię: operujemy tu pojęciem pola (miary), a w konstrukcyjnych dowodach równoważności dwóch figur tego pojęcia nie potrzebujemy.

Jeśli masz podzielić równoległobok na 3 części równoważne prostymi równoległymi do przekątnej, to zauważamy fakt:
przekątna dzieli równoległobok na dwie części równoważne. Przy okazji to trójkąty. Musimy zatem odciąć trójkąty, których pola nie będą równe 1/2 pola równoległoboku (tak dzieli przekątna), ale równe 1/3 pola równoległoboku.
Proste będą równoległe, czyli trójkąty będą podobne do wyjściowego. Pole ma być w skali $\frac{2}{3}$, czyli boki będą w skali $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Zatem na bokach a,b musisz odłożyć odcinki o długościach $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a$ i $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}b $ zaczepione w wierzchołkach, przez które nie przechodzi przekątna.
To powyżej nie jest dobrym rozumowaniem konstrukcyjnym, bo tak naprawdę ja wykorzystuję inne fakty, w tym pole, podobieństwo, a nie tylko fakty konstrukcyjne. Jeśli jednak wpiszesz w google "równoważność figur skrypt" albo "równoważność figur zadania", to trafisz na ciekawe długie artykuły pokazujące całe serie różnych konstrukcji.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj