Algebra, zadanie nr 4579
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
tomek987 postów: 103 | 2016-05-21 13:51:18 Mam pytanie odnośnie homomorfizmów grup $Z_{4} \times Z_{6}$->$Z_{16}$ Zrobiłem to tak, że robiłem na homomorfizmy $Z_{4}$->$Z_{16}$ i $Z_{6}$->$Z_{16}$ Z pierwszego homomorfizmu wyszło, że a$\in${0,4,8,12} a b$\in${0,8}. Mam problem jak to teraz zapisać, jak wyznaczyć dokładnie te homomorfizmy przy użyciu tego co udało mi się wyliczyć? |
tumor postów: 8070 | 2016-05-21 15:52:32 $G=Z_4\times Z_6$ ma $4*6=24$ elementy. $H=Z_{16}$ ma 16 elementów. Każdy obraz homomorfizmu będzie grupą, podgrupą $Z_{16}$, może mieć zatem 1,2,4,8,16 elementów Niech f będzie szukanym homomorfizmem. Jądro f jest podgrupą normalną G, obraz f jest podgrupą H. Ilość elementów w jądrze mnożona przez ilość elementów w obrazie musi dać 24 (tw. Lagrange'a) Jeśli w obrazie jest 1 element, to jądrem jest G, przypadek trywialny. Jeśli w obrazie jest 8 elementów, to jądro jest jedyną trójelementową podgrupą grupy G. Jeśli w obrazie są 2 elementy, to szukamy 12-elementowej podgrupy grupy G (będzie jądrem homomorfizmu, dwa przypadki), jeśli w obrazie są 4 elementy, to szukamy 6-elementowej podgrupy grupy G (dwa przypadki). I rozważamy. Każda podgrupa grupy abelowej jest normalna. Każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu grup. Bo w sumie o co jest pytanie? Nie piszesz. :) ---- W tym co piszesz wyznaczasz tylko po jednym możliwym homomorfizmie, ale to nie są wszystkie możliwości. To chyba nie będzie bardzo dobra droga. |
tomek987 postów: 103 | 2016-05-22 09:59:57 Na zajęciach prowadzącemu wyszło, że tych homomorfizmów jest 12. Moje pytanie było o to jak je opisać: Tzn co przechodzi na co dokładnie. Wiadomość była modyfikowana 2016-05-22 10:00:16 przez tomek987 |
tumor postów: 8070 | 2016-05-22 11:36:47 To sobie zrób sporą tabelkę, jeśli każdy ma być opisany. :) Jeśli na przykład za jądro weźmiemy $\{0,2\}\times \{0,2,4\}$, to obraz musi być czteroelementowy, czyli $\{0,4,8,12\}$ Każdy element jądra przejdzie na 0. Teraz rozważ grupę $\frac{G}{ker f}$ warstw względem $kerf$. Ma ona, poza kerf, także elementy $\{1,3\}\times \{0,2,4\}$ $\{1,3\}\times \{1,3,5\}$ $\{0,2\}\times \{1,3,5\}$ Oczywiście elementy ker f przechodzą na 0. Teraz elementy z jednej warstwy musiałyby przejść na 4. W ogólnym przypadku musisz sprawdzić, które elementy mogą przejść na 4, żeby zachowany był warunek homomorfizmu. Ale w tym przypadku warstwy nie tworzą grupy cyklicznej, a obraz jest grupą cykliczną, więc nie ma co sprawdzać, nie da się. (gdybyśmy mieli epimorfizm na $\{0,4,8,12\}$, to jego jądro byłoby taką podgrupą normalną grupy G, że $\frac{G}{kerf}$ izomorficzne z $imf$. Ale $imf$ cykliczna, więc $\frac{G}{kerf}$ cykliczna. Skoro taka nie jest, to się nie da.) ---- Weźmy za jądro inną podgrupę sześcioelementową, czyli $\{0\}\times Z_6$ Teraz warstwy to $\{1\}\times Z_6$ $\{2\}\times Z_6$ $\{3\}\times Z_6$ Przy tym to już grupa cykliczna, a generatorem nie jest $\{2\}\times Z_6$, podobnie jak w grupie $\{0,4,8,12\}$ nie jest generatorem 8. Zatem elementy tej warstwy przejdą na 8. Potem dwie możliwości. a) elementy warstwy $\{1\}\times Z_6$ przechodzą na 4, a tej ostatniej na 12 b) elementy warstwy $\{1\}\times Z_6$ przechodzą na 12, a tej ostatniej na 4. No i dalej. Bierzesz inną podgrupę i robisz co trza. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj