logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 4579

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tomek987
postów: 103
2016-05-21 13:51:18

Mam pytanie odnośnie homomorfizmów grup $Z_{4} \times Z_{6}$->$Z_{16}$

Zrobiłem to tak, że robiłem na homomorfizmy $Z_{4}$->$Z_{16}$ i $Z_{6}$->$Z_{16}$

Z pierwszego homomorfizmu wyszło, że a$\in${0,4,8,12}
a b$\in${0,8}. Mam problem jak to teraz zapisać, jak wyznaczyć dokładnie te homomorfizmy przy użyciu tego co udało mi się wyliczyć?



tumor
postów: 8085
2016-05-21 15:52:32

$G=Z_4\times Z_6$ ma $4*6=24$ elementy.
$H=Z_{16}$ ma 16 elementów. Każdy obraz homomorfizmu będzie grupą, podgrupą $Z_{16}$, może mieć zatem 1,2,4,8,16 elementów

Niech f będzie szukanym homomorfizmem.
Jądro f jest podgrupą normalną G, obraz f jest podgrupą H.
Ilość elementów w jądrze mnożona przez ilość elementów w obrazie musi dać 24 (tw. Lagrange'a)
Jeśli w obrazie jest 1 element, to jądrem jest G, przypadek trywialny.
Jeśli w obrazie jest 8 elementów, to jądro jest jedyną trójelementową podgrupą grupy G.
Jeśli w obrazie są 2 elementy, to szukamy 12-elementowej podgrupy grupy G (będzie jądrem homomorfizmu, dwa przypadki), jeśli w obrazie są 4 elementy, to szukamy 6-elementowej podgrupy grupy G (dwa przypadki). I rozważamy.

Każda podgrupa grupy abelowej jest normalna. Każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu grup.

Bo w sumie o co jest pytanie? Nie piszesz. :)

----

W tym co piszesz wyznaczasz tylko po jednym możliwym homomorfizmie, ale to nie są wszystkie możliwości. To chyba nie będzie bardzo dobra droga.



tomek987
postów: 103
2016-05-22 09:59:57

Na zajęciach prowadzącemu wyszło, że tych homomorfizmów jest 12.
Moje pytanie było o to jak je opisać: Tzn co przechodzi na co dokładnie.

Wiadomość była modyfikowana 2016-05-22 10:00:16 przez tomek987

tumor
postów: 8085
2016-05-22 11:36:47

To sobie zrób sporą tabelkę, jeśli każdy ma być opisany. :)

Jeśli na przykład za jądro weźmiemy $\{0,2\}\times \{0,2,4\}$, to obraz musi być czteroelementowy, czyli $\{0,4,8,12\}$

Każdy element jądra przejdzie na 0.

Teraz rozważ grupę $\frac{G}{ker f}$ warstw względem $kerf$.
Ma ona, poza kerf, także elementy
$\{1,3\}\times \{0,2,4\}$
$\{1,3\}\times \{1,3,5\}$
$\{0,2\}\times \{1,3,5\}$
Oczywiście elementy ker f przechodzą na 0. Teraz elementy z jednej warstwy musiałyby przejść na 4. W ogólnym przypadku musisz sprawdzić, które elementy mogą przejść na 4, żeby zachowany był warunek homomorfizmu.
Ale w tym przypadku warstwy nie tworzą grupy cyklicznej, a obraz jest grupą cykliczną, więc nie ma co sprawdzać, nie da się.


(gdybyśmy mieli epimorfizm na $\{0,4,8,12\}$, to jego jądro byłoby taką podgrupą normalną grupy G, że $\frac{G}{kerf}$ izomorficzne z $imf$.
Ale $imf$ cykliczna, więc $\frac{G}{kerf}$ cykliczna. Skoro taka nie jest, to się nie da.)

----

Weźmy za jądro inną podgrupę sześcioelementową, czyli
$\{0\}\times Z_6$
Teraz warstwy to
$\{1\}\times Z_6$
$\{2\}\times Z_6$
$\{3\}\times Z_6$
Przy tym to już grupa cykliczna, a generatorem nie jest
$\{2\}\times Z_6$, podobnie jak w grupie $\{0,4,8,12\}$ nie jest generatorem 8. Zatem elementy tej warstwy przejdą na 8.
Potem dwie możliwości.
a) elementy warstwy $\{1\}\times Z_6$ przechodzą na 4, a tej ostatniej na 12
b) elementy warstwy $\{1\}\times Z_6$ przechodzą na 12, a tej ostatniej na 4.

No i dalej. Bierzesz inną podgrupę i robisz co trza.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 111 drukuj