Algebra, zadanie nr 4579
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tomek987 post贸w: 103 |  2016-05-21 13:51:18Mam pytanie odno艣nie homomorfizm贸w grup $Z_{4} \times Z_{6}$->$Z_{16}$ Zrobi艂em to tak, 偶e robi艂em na homomorfizmy $Z_{4}$->$Z_{16}$ i $Z_{6}$->$Z_{16}$ Z pierwszego homomorfizmu wysz艂o, 偶e a$\in${0,4,8,12} a b$\in${0,8}. Mam problem jak to teraz zapisa膰, jak wyznaczy膰 dok艂adnie te homomorfizmy przy u偶yciu tego co uda艂o mi si臋 wyliczy膰? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-21 15:52:32 $G=Z_4\times Z_6$ ma $4*6=24$ elementy. $H=Z_{16}$ ma 16 element贸w. Ka偶dy obraz homomorfizmu b臋dzie grup膮, podgrup膮 $Z_{16}$, mo偶e mie膰 zatem 1,2,4,8,16 element贸w Niech f b臋dzie szukanym homomorfizmem. J膮dro f jest podgrup膮 normaln膮 G, obraz f jest podgrup膮 H. Ilo艣膰 element贸w w j膮drze mno偶ona przez ilo艣膰 element贸w w obrazie musi da膰 24 (tw. Lagrange\'a) Je艣li w obrazie jest 1 element, to j膮drem jest G, przypadek trywialny. Je艣li w obrazie jest 8 element贸w, to j膮dro jest jedyn膮 tr贸jelementow膮 podgrup膮 grupy G. Je艣li w obrazie s膮 2 elementy, to szukamy 12-elementowej podgrupy grupy G (b臋dzie j膮drem homomorfizmu, dwa przypadki), je艣li w obrazie s膮 4 elementy, to szukamy 6-elementowej podgrupy grupy G (dwa przypadki). I rozwa偶amy. Ka偶da podgrupa grupy abelowej jest normalna. Ka偶da podgrupa normalna jest j膮drem pewnego homomorfizmu grup. Bo w sumie o co jest pytanie? Nie piszesz. :) ---- W tym co piszesz wyznaczasz tylko po jednym mo偶liwym homomorfizmie, ale to nie s膮 wszystkie mo偶liwo艣ci. To chyba nie b臋dzie bardzo dobra droga. |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-05-22 09:59:57 Na zaj臋ciach prowadz膮cemu wysz艂o, 偶e tych homomorfizm贸w jest 12. Moje pytanie by艂o o to jak je opisa膰: Tzn co przechodzi na co dok艂adnie. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-05-22 10:00:16 przez tomek987 |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-22 11:36:47 To sobie zr贸b spor膮 tabelk臋, je艣li ka偶dy ma by膰 opisany. :) Je艣li na przyk艂ad za j膮dro we藕miemy $\{0,2\}\times \{0,2,4\}$, to obraz musi by膰 czteroelementowy, czyli $\{0,4,8,12\}$ Ka偶dy element j膮dra przejdzie na 0. Teraz rozwa偶 grup臋 $\frac{G}{ker f}$ warstw wzgl臋dem $kerf$. Ma ona, poza kerf, tak偶e elementy $\{1,3\}\times \{0,2,4\}$ $\{1,3\}\times \{1,3,5\}$ $\{0,2\}\times \{1,3,5\}$ Oczywi艣cie elementy ker f przechodz膮 na 0. Teraz elementy z jednej warstwy musia艂yby przej艣膰 na 4. W og贸lnym przypadku musisz sprawdzi膰, kt贸re elementy mog膮 przej艣膰 na 4, 偶eby zachowany by艂 warunek homomorfizmu. Ale w tym przypadku warstwy nie tworz膮 grupy cyklicznej, a obraz jest grup膮 cykliczn膮, wi臋c nie ma co sprawdza膰, nie da si臋. (gdyby艣my mieli epimorfizm na $\{0,4,8,12\}$, to jego j膮dro by艂oby tak膮 podgrup膮 normaln膮 grupy G, 偶e $\frac{G}{kerf}$ izomorficzne z $imf$. Ale $imf$ cykliczna, wi臋c $\frac{G}{kerf}$ cykliczna. Skoro taka nie jest, to si臋 nie da.) ---- We藕my za j膮dro inn膮 podgrup臋 sze艣cioelementow膮, czyli $\{0\}\times Z_6$ Teraz warstwy to $\{1\}\times Z_6$ $\{2\}\times Z_6$ $\{3\}\times Z_6$ Przy tym to ju偶 grupa cykliczna, a generatorem nie jest $\{2\}\times Z_6$, podobnie jak w grupie $\{0,4,8,12\}$ nie jest generatorem 8. Zatem elementy tej warstwy przejd膮 na 8. Potem dwie mo偶liwo艣ci. a) elementy warstwy $\{1\}\times Z_6$ przechodz膮 na 4, a tej ostatniej na 12 b) elementy warstwy $\{1\}\times Z_6$ przechodz膮 na 12, a tej ostatniej na 4. No i dalej. Bierzesz inn膮 podgrup臋 i robisz co trza. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj