Topologia, zadanie nr 4580
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
karolinam post贸w: 23 |  2016-05-21 17:00:43Zadanie 1: Pokaza膰, 偶e ka偶da niesko艅czona przestrze艅 $T_2$ zawiera przeliczaln膮 niesko艅czon膮 podprzestrze艅 dyskretn膮. Zadanie 2: a) Pokaza膰, 偶e je艣li przestrze艅 $X$ jest typu $T_3$, to dla dowolnych r贸偶nych punkt贸w $x,y \in X$ istniej膮 zbiory otwarte $U,V\subset X$ takie, 偶e $x \in U,y\in V, cl(U)\cap cl(V) = \emptyset$. b) Pokaza膰 na przyk艂adzie, 偶e implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Teoria: X-przestrze艅 topologiczna $x \in T_2 \Leftrightarrow \forall_{x_1 ,x_2 \in X,x_1\neq x_2 }\exists_{U_1,U_2 \in O} x_1 \in U_1 \wedge x_2 \in U_2 \cap U_1 \cap U_2 = \emptyset $ $x \in T_3 \Leftrightarrow x\in T_1\wedge \forall_{x_0 \in X} \forall_{x_0 \notin A=cl(A) \subset X} \exists_{U_1,U_2\in O} x_0 \in U_1 \wedge A\subset U_2 \wedge U_1 \cap U_2=\emptyset $ |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-21 21:42:07 1. Krok pierwszy. We藕my dwa punkty przestrzeni X, nazwijmy je $a,b$. Punkty te maj膮 otoczenia roz艂膮czne $U_a, U_b$. X jest niesko艅czona. Uzasadnimy, 偶e da si臋 dobra膰 punkty a,b i ich otoczenia $U_a, U_b$ tak, 偶e co najmniej jedno z otocze艅 jest niesko艅czone. Je艣li $U_a$ niesko艅czone, to gotowe. Przyjmijmy zatem 偶e $U_a=\{c_1,...,c_n\}$. We藕my dowolny $b\notin U_a$. Wtedy b ma otoczenie $V_1$ do kt贸rego nie nale偶y $c_1$ i tak dalej, ma otoczenie $V_i$ do kt贸rego nie nale偶y $c_i$ dla $i=1,2,...,n$. Wobec tego przekr贸j wszystkich sko艅czenie wielu $V_i$ jest otoczeniem b roz艂膮cznym z $U_a$. W ten spos贸b ka偶dy b nienale偶膮cy do $U_a$ ma otoczenie roz艂膮czne z $U_a$, wobec tego $U_a`$ jest otwarty i niesko艅czony, bo X niesko艅czony, czyli $U_b=U_a`$. Dla dowolnych dw贸ch punkt贸w a,b umiemy zatem nie tylko znale藕膰 otoczenia roz艂膮czne ale jeszcze tak, by co najmniej jedno by艂o niesko艅czone. Niech teraz to otoczenie, kt贸re by艂o niesko艅czone (bez utraty og贸lno艣ci przyjmiemy, 偶e to $U_a$ jest niesko艅czone) stanowi (otwart膮 niesko艅czon膮 $T_2$) przestrze艅 $X_1$ (podprzestrze艅 X). $U_b$ oznaczmy $U_1$, natomiast punkt, kt贸ry b oznaczmy przez $x_1$. Skonstruowali艣my zatem punkt, jego otoczenie i podprzestrze艅 niesko艅czon膮 otwart膮 roz艂膮czn膮 z tym otoczeniem. Indukcja: je艣li w poprzednim kroku skonstruowali艣my przestrze艅 $X_i$, zbi贸r otwarty $U_i$ i element w tym zbiorze $x_i$, to kolejny konstruujemy stosuj膮c krok pierwszy dla zbioru $X_i$ i dowolnie wybranych punkt贸w a,b. Otoczenie a,b mo偶emy dobra膰 z podzbior贸w $X_i$, wobec tego s膮 one roz艂膮czne z wcze艣niejszymi zbiorami $U_1,...,U_i$. Mo偶emy wybra膰 je tak, by jedno by艂o niesko艅czone, ono stanowi膰 b臋dzie $X_{i+1}$, to drugie stanowi膰 b臋dzie $U_{i+1}$ natomiast otaczany punkt oznaczymy $x_{i+1}$. Otrzymujemy zatem niesko艅czony ci膮g $\{x_k\}_{k\in N}$ oraz niesko艅czony ci膮g otocze艅 tych punkt贸w $\{U_k\}_{k\in N}$ parami roz艂膮cznych. Wobec tego $Y=\{x_k\}_{k\in N}$ jest zbiorem niesko艅czonym przeliczalnym dyskretnym. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-21 22:10:12 2. Niech x,y b臋d膮 naszymi punktami. Zbiory jednopunktowe s膮 domkni臋te, zatem zgodnie z warunkiem $T_3$ zbiory $\{x\}$ i $\{y\}$ maj膮 otoczenia roz艂膮czne, nazwijmy je odpowiednio $U_1$ i $U_2$. Oczywi艣cie $U_1$ roz艂膮czny z $cl U_2$. Wobec tego x nie nale偶y do $clU_2$, a $clU_2$ domkni臋ty, wobec tego z warunku $T_3$ $x$ i $clU_2$ maj膮 otoczenia roz艂膮czne. Nazwijmy je odpowiednio $V_1$ i $V_2$. Oczywi艣cie $clV_1$ roz艂膮czny z $V_2$, a $cl U_2\subset V_2$, wobec tego $clV_2$ roz艂膮czny z $cl U_2$. Przyk艂ad dorzuc臋 jak pomy艣l臋. Ale te偶 mo偶esz pomy艣le膰, sprawdz臋. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-22 13:19:21 2.b) Przyk艂ad 1.5.6 z \"Topologii og贸lnej\" Engelkinga Niech $W=\bigcup_{k\in N} \{\frac{1}{k}\} \cup \bigcup_{k\in N} \{\frac{1}{-k}\}$ Niech X=R, wprowadzimy topologi臋 przez pe艂n膮 baz臋 otocze艅. Je艣li $x\neq 0$, to $U_n(x)=(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})$ je艣li natomiast $x=0$, to $U_n(x)=(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\backslash W$ wypada oczywi艣cie pokaza膰, 偶e zbiory $U_n(x)$ tworz膮 baz臋 topologii Niech teraz x,y r贸偶ne. 艁atwo pokaza膰, 偶e $[x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}], [y-\frac{1}{n},y+\frac{1}{n}]$ s膮 domkni臋te (pokazujemy jak prawie zawsze, 偶e ich dope艂nienie jest otwarte, bierzemy punkt z dope艂nienia i pokazujemy, 偶e wraz z otoczeniem jest roz艂膮czny ze zbiorem podejrzewanym o domkni臋to艣膰). Je艣li we藕miemy dostatecznie du偶e n, to zbiory te b臋d膮 roz艂膮czne, wobec tego $clU_n(x)$ roz艂膮czne z $clU_n(y)$ W jest zbiorem domkni臋tym (艂atwo pokaza膰, we藕my $x\notin W$, rozpatrzmy dwa przypadki $x=0$ i $x\neq 0$) Niech $x=0$. Zbi贸r $W$ i punkt $x$ nie maj膮 otocze艅 roz艂膮cznych, bowiem ka偶de $U_n(0)$ zawiera elementy wsp贸lne z otoczeniem $U_k(\frac{1}{2n})$. Przestrze艅 ta nie jest $T_3$ (cho膰 oczywi艣cie jest $T_2$) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj