logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 4580

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

karolinam
postów: 23
2016-05-21 17:00:43

Zadanie 1:
Pokazać, że każda nieskończona przestrzeń $T_2$ zawiera przeliczalną nieskończoną podprzestrzeń dyskretną.

Zadanie 2:
a) Pokazać, że jeśli przestrzeń $X$ jest typu $T_3$, to dla dowolnych różnych punktów $x,y \in X$ istnieją zbiory otwarte $U,V\subset X$ takie, że $x \in U,y\in V, cl(U)\cap cl(V) = \emptyset$.
b) Pokazać na przykładzie, że implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Teoria:
X-przestrzeń topologiczna
$x \in T_2 \Leftrightarrow \forall_{x_1 ,x_2 \in X,x_1\neq x_2 }\exists_{U_1,U_2 \in O} x_1 \in U_1 \wedge x_2 \in U_2 \cap U_1 \cap U_2 = \emptyset $
$x \in T_3 \Leftrightarrow x\in T_1\wedge \forall_{x_0 \in X} \forall_{x_0 \notin A=cl(A) \subset X} \exists_{U_1,U_2\in O} x_0 \in U_1 \wedge A\subset U_2 \wedge U_1 \cap U_2=\emptyset $


tumor
postów: 8085
2016-05-21 21:42:07

1.
Krok pierwszy.

Weźmy dwa punkty przestrzeni X, nazwijmy je $a,b$. Punkty te mają otoczenia rozłączne $U_a, U_b$.

X jest nieskończona. Uzasadnimy, że da się dobrać punkty a,b i ich otoczenia $U_a, U_b$ tak, że co najmniej jedno z otoczeń jest nieskończone.

Jeśli $U_a$ nieskończone, to gotowe.
Przyjmijmy zatem że $U_a=\{c_1,...,c_n\}$. Weźmy dowolny $b\notin U_a$.
Wtedy b ma otoczenie $V_1$ do którego nie należy $c_1$ i tak dalej, ma otoczenie $V_i$ do którego nie należy $c_i$ dla $i=1,2,...,n$.
Wobec tego przekrój wszystkich skończenie wielu $V_i$ jest otoczeniem b rozłącznym z $U_a$.
W ten sposób każdy b nienależący do $U_a$ ma otoczenie rozłączne z $U_a$, wobec tego $U_a`$ jest otwarty i nieskończony, bo X nieskończony, czyli $U_b=U_a`$.

Dla dowolnych dwóch punktów a,b umiemy zatem nie tylko znaleźć otoczenia rozłączne ale jeszcze tak, by co najmniej jedno było nieskończone.

Niech teraz to otoczenie, które było nieskończone (bez utraty ogólności przyjmiemy, że to $U_a$ jest nieskończone) stanowi (otwartą nieskończoną $T_2$) przestrzeń $X_1$ (podprzestrzeń X).
$U_b$ oznaczmy $U_1$, natomiast punkt, który b oznaczmy przez $x_1$.
Skonstruowaliśmy zatem punkt, jego otoczenie i podprzestrzeń nieskończoną otwartą rozłączną z tym otoczeniem.

Indukcja:
jeśli w poprzednim kroku skonstruowaliśmy przestrzeń $X_i$, zbiór otwarty $U_i$ i element w tym zbiorze $x_i$, to kolejny konstruujemy stosując krok pierwszy dla zbioru $X_i$ i dowolnie wybranych punktów a,b. Otoczenie a,b możemy dobrać z podzbiorów $X_i$, wobec tego są one rozłączne z wcześniejszymi zbiorami $U_1,...,U_i$.
Możemy wybrać je tak, by jedno było nieskończone, ono stanowić będzie $X_{i+1}$, to drugie stanowić będzie $U_{i+1}$ natomiast otaczany punkt oznaczymy $x_{i+1}$.

Otrzymujemy zatem nieskończony ciąg $\{x_k\}_{k\in N}$ oraz nieskończony ciąg otoczeń tych punktów $\{U_k\}_{k\in N}$ parami rozłącznych. Wobec tego $Y=\{x_k\}_{k\in N}$ jest zbiorem nieskończonym przeliczalnym dyskretnym.


tumor
postów: 8085
2016-05-21 22:10:12

2.

Niech x,y będą naszymi punktami.
Zbiory jednopunktowe są domknięte, zatem zgodnie z warunkiem $T_3$ zbiory $\{x\}$ i $\{y\}$ mają otoczenia rozłączne, nazwijmy je odpowiednio $U_1$ i $U_2$.
Oczywiście $U_1$ rozłączny z $cl U_2$.
Wobec tego x nie należy do $clU_2$, a $clU_2$ domknięty, wobec tego z warunku $T_3$ $x$ i $clU_2$ mają otoczenia rozłączne. Nazwijmy je
odpowiednio $V_1$ i $V_2$. Oczywiście $clV_1$ rozłączny z $V_2$, a $cl U_2\subset V_2$, wobec tego $clV_2$ rozłączny z $cl U_2$.

Przykład dorzucę jak pomyślę. Ale też możesz pomyśleć, sprawdzę.


tumor
postów: 8085
2016-05-22 13:19:21

2.b)

Przykład 1.5.6 z "Topologii ogólnej" Engelkinga

Niech $W=\bigcup_{k\in N} \{\frac{1}{k}\} \cup \bigcup_{k\in N} \{\frac{1}{-k}\}$
Niech X=R, wprowadzimy topologię przez pełną bazę otoczeń.
Jeśli $x\neq 0$, to $U_n(x)=(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})$
jeśli natomiast $x=0$, to $U_n(x)=(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\backslash W$

wypada oczywiście pokazać, że zbiory $U_n(x)$ tworzą bazę topologii

Niech teraz x,y różne.
Łatwo pokazać, że $[x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}],
[y-\frac{1}{n},y+\frac{1}{n}]$ są domknięte (pokazujemy jak prawie zawsze, że ich dopełnienie jest otwarte, bierzemy punkt z dopełnienia i pokazujemy, że wraz z otoczeniem jest rozłączny ze zbiorem podejrzewanym o domkniętość).
Jeśli weźmiemy dostatecznie duże n, to zbiory te będą rozłączne, wobec tego
$clU_n(x)$ rozłączne z $clU_n(y)$


W jest zbiorem domkniętym (łatwo pokazać, weźmy $x\notin W$, rozpatrzmy dwa przypadki $x=0$ i $x\neq 0$)

Niech $x=0$.
Zbiór $W$ i punkt $x$ nie mają otoczeń rozłącznych, bowiem każde $U_n(0)$ zawiera elementy wspólne z otoczeniem $U_k(\frac{1}{2n})$. Przestrzeń ta nie jest $T_3$ (choć oczywiście jest $T_2$)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 28 drukuj