logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 4581

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

karolinam
postów: 23
2016-05-21 17:26:40

Zadanie 1:
Udowodnij, że iloczyn kartezjański przeliczalnej ilości przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.
Zadanie 2:
Pokazać, że przestrzeń $T_3$ spełniająca II aksjomat przeliczalności jest przestrzenią typu $T_4.$

Teoria:
X-przestrzeń topologiczna
$x \in T_3 \Leftrightarrow x\in T_1\wedge \forall_{x_0 \in X} \forall_{x_0 \notin A=cl(A) \subset X} \exists_{U_1,U_2\in O} x_0 \in U_1 \wedge A\subset U_2 \wedge U_1 \cap U_2=\emptyset $
$x \in T_4 \Leftrightarrow x\in T_1\wedge \forall_{A_1,A_2 -domknięte} A_1 \cap A_2=\emptyset \Rightarrow \exists_{U_1,U_2\in O} A_1 \subset U_1 \wedge A_2 \subset U_2 \wedge U_1 \cap U_2=\emptyset $.
Def. Przestrzeń nazywamy ośrodkową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w niej przeliczalny gęsty zbiór.
Def. Jeżeli przestrzeń ma przeliczalną bazę, to mówimy, że spełnia II-gi aksjomat przeliczalności.




tumor
postów: 8085
2016-05-21 22:42:52

1.
Niech $(X_i, D_i)$ będą przeliczalną rodziną przestrzeni z ośrodkami.
Niech $x_i\in D_i$ będzie punktem wyróżnionym w ośrodku $D_i$ dla każdego i.

Rozważmy teraz iloczyny $\Pi A_i$, gdzie skończona ilość zbiorów $A_i$ jest równa $D_i$, a wszystkie pozostałe są równe $\{x_i\}$.
Każdy taki iloczyn ma taką moc jak iloczyn kartezjański skończenie wielu zbiorów przeliczalnych, czyli jest przeliczalny.
Ilość iloczynów, w których k zbiorów $A_i$ jest równa $D_i$ jest równa ilości k-elementowych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, czyli jest ich przeliczalnie wiele. Zatem suma wszystkich elementów wszystkich takich iloczynów jest zbiorem przeliczalnym i oznaczmy ją $D$.

Jest to ośrodek. Uzasadnienie:
$U=\Pi U_i$ jest zbiorem bazowym niepustym w przestrzeni Tichonowa, to znaczy, że skończona ilość zbiorów $U_i$ jest różna od $X_i$.
Oznaczmy je $U_1,...,U_m$.
Należą do nich odpowiednio elementy $d_1,...,d_m$ takie, że $d_i\in D_i$.
Wobec tego weźmy iloczyn $\Pi A_i$ opisany jak wyżej, w którym zbiorami $A_i$ różnymi od $\{x_i\}$ są zbiory $D_1,...,D_m$.

Stąd $U\cap D$ niepusty.


tumor
postów: 8085
2016-05-22 12:35:29

2.
(Lemat 1.5.15 w 'Topologii ogólnej' Engelkinga)

Niech przestrzeń spełnia $T_3$ (czyli przy okazji $T_1$).
Weźmy F domknięty i W otwarty, $F\subset W$.
W` domknięty, czyli z każdym $x\in F$ ma otoczenia rozłączne, czyli każdy $x\in F$ ma otoczenie rozłączne z W`. Mamy bazę przeliczalną, czyli wystarczy przeliczalnie wiele takich otoczeń $W_i, i\in N$. Przy tym skoro każdy ze zbiorów $W_i$ był rozłączny z otoczeniem zbioru W`, to i domknięcia zbiorów $W_i$ są rozłączne z W`.
Mamy zatem $F\subset \bigcup W_i \subset W$, a także $clW_i\subset W$ dla wszystkich $i$ naturalnych.

Niech teraz F, G będą zbiorami domkniętymi. Wobec tego istnieją ciągi zbiorów otwartych $W_i, V_i$ takie, że
$F\subset \bigcup_{i \in N} W_i \subset G`$ oraz $clW_i \subset G`$ dla $i\in N$
$G\subset \bigcup_{i \in N} V_i \subset F`$ oraz $clV_i \subset F`$ dla $i\in N$.

Niech teraz
$A_1=W_1\backslash(cl V_1)$ ($A_1$ zatem otwarty, a nie odejmujemy żadnych punktów ze zbioru F, bo $clV_i$ rozłączne z F)
$B_1=V_1\backslash(cl W_1)$

i dalej
$A_k=W_k\backslash(\bigcap_{i\le k} cl V_i)$
$B_k=V_k\backslash(\bigcap_{i\le k} cl W_i)$

Zbiory $A_i$ otwarte pokrywają F, zbiory $B_i$ otwarte pokrywają G. Żaden $W_j$ nie ma części wspólnej z $V_k$, dla j,k naturalnych.
Wobec tego
$A=\bigcup A_i$
$B=\bigcup B_i$ są rozłącznymi otwartymi otoczeniami zbiorów domkniętych F,G.


-----


W książce Engelking poleca zauważyć też rzecz łatwiejszą, że normalność przestrzeni pociąga za sobą ten warunek o istnieniu ciągu zbiorów otwartych $W_i, i\in N$ spełniającego
$F\subset \bigcup W_i \subset W$, gdzie F domknięty, W otwarty, $F\subset W$ oraz $cl W_i\subset W$ dla i naturalnego.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 13 drukuj