Topologia, zadanie nr 4581
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
karolinam post贸w: 23 |  2016-05-21 17:26:40Zadanie 1: Udowodnij, 偶e iloczyn kartezja艅ski przeliczalnej ilo艣ci przestrzeni o艣rodkowych jest o艣rodkowy. Zadanie 2: Pokaza膰, 偶e przestrze艅 $T_3$ spe艂niaj膮ca II aksjomat przeliczalno艣ci jest przestrzeni膮 typu $T_4.$ Teoria: X-przestrze艅 topologiczna $x \in T_3 \Leftrightarrow x\in T_1\wedge \forall_{x_0 \in X} \forall_{x_0 \notin A=cl(A) \subset X} \exists_{U_1,U_2\in O} x_0 \in U_1 \wedge A\subset U_2 \wedge U_1 \cap U_2=\emptyset $ $x \in T_4 \Leftrightarrow x\in T_1\wedge \forall_{A_1,A_2 -domkni臋te} A_1 \cap A_2=\emptyset \Rightarrow \exists_{U_1,U_2\in O} A_1 \subset U_1 \wedge A_2 \subset U_2 \wedge U_1 \cap U_2=\emptyset $. Def. Przestrze艅 nazywamy o艣rodkow膮 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w niej przeliczalny g臋sty zbi贸r. Def. Je偶eli przestrze艅 ma przeliczaln膮 baz臋, to m贸wimy, 偶e spe艂nia II-gi aksjomat przeliczalno艣ci. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-21 22:42:52 1. Niech $(X_i, D_i)$ b臋d膮 przeliczaln膮 rodzin膮 przestrzeni z o艣rodkami. Niech $x_i\in D_i$ b臋dzie punktem wyr贸偶nionym w o艣rodku $D_i$ dla ka偶dego i. Rozwa偶my teraz iloczyny $\Pi A_i$, gdzie sko艅czona ilo艣膰 zbior贸w $A_i$ jest r贸wna $D_i$, a wszystkie pozosta艂e s膮 r贸wne $\{x_i\}$. Ka偶dy taki iloczyn ma tak膮 moc jak iloczyn kartezja艅ski sko艅czenie wielu zbior贸w przeliczalnych, czyli jest przeliczalny. Ilo艣膰 iloczyn贸w, w kt贸rych k zbior贸w $A_i$ jest r贸wna $D_i$ jest r贸wna ilo艣ci k-elementowych podzbior贸w zbioru liczb naturalnych, czyli jest ich przeliczalnie wiele. Zatem suma wszystkich element贸w wszystkich takich iloczyn贸w jest zbiorem przeliczalnym i oznaczmy j膮 $D$. Jest to o艣rodek. Uzasadnienie: $U=\Pi U_i$ jest zbiorem bazowym niepustym w przestrzeni Tichonowa, to znaczy, 偶e sko艅czona ilo艣膰 zbior贸w $U_i$ jest r贸偶na od $X_i$. Oznaczmy je $U_1,...,U_m$. Nale偶膮 do nich odpowiednio elementy $d_1,...,d_m$ takie, 偶e $d_i\in D_i$. Wobec tego we藕my iloczyn $\Pi A_i$ opisany jak wy偶ej, w kt贸rym zbiorami $A_i$ r贸偶nymi od $\{x_i\}$ s膮 zbiory $D_1,...,D_m$. St膮d $U\cap D$ niepusty. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-22 12:35:29 2. (Lemat 1.5.15 w \'Topologii og贸lnej\' Engelkinga) Niech przestrze艅 spe艂nia $T_3$ (czyli przy okazji $T_1$). We藕my F domkni臋ty i W otwarty, $F\subset W$. W` domkni臋ty, czyli z ka偶dym $x\in F$ ma otoczenia roz艂膮czne, czyli ka偶dy $x\in F$ ma otoczenie roz艂膮czne z W`. Mamy baz臋 przeliczaln膮, czyli wystarczy przeliczalnie wiele takich otocze艅 $W_i, i\in N$. Przy tym skoro ka偶dy ze zbior贸w $W_i$ by艂 roz艂膮czny z otoczeniem zbioru W`, to i domkni臋cia zbior贸w $W_i$ s膮 roz艂膮czne z W`. Mamy zatem $F\subset \bigcup W_i \subset W$, a tak偶e $clW_i\subset W$ dla wszystkich $i$ naturalnych. Niech teraz F, G b臋d膮 zbiorami domkni臋tymi. Wobec tego istniej膮 ci膮gi zbior贸w otwartych $W_i, V_i$ takie, 偶e $F\subset \bigcup_{i \in N} W_i \subset G`$ oraz $clW_i \subset G`$ dla $i\in N$ $G\subset \bigcup_{i \in N} V_i \subset F`$ oraz $clV_i \subset F`$ dla $i\in N$. Niech teraz $A_1=W_1\backslash(cl V_1)$ ($A_1$ zatem otwarty, a nie odejmujemy 偶adnych punkt贸w ze zbioru F, bo $clV_i$ roz艂膮czne z F) $B_1=V_1\backslash(cl W_1)$ i dalej $A_k=W_k\backslash(\bigcap_{i\le k} cl V_i)$ $B_k=V_k\backslash(\bigcap_{i\le k} cl W_i)$ Zbiory $A_i$ otwarte pokrywaj膮 F, zbiory $B_i$ otwarte pokrywaj膮 G. 呕aden $W_j$ nie ma cz臋艣ci wsp贸lnej z $V_k$, dla j,k naturalnych. Wobec tego $A=\bigcup A_i$ $B=\bigcup B_i$ s膮 roz艂膮cznymi otwartymi otoczeniami zbior贸w domkni臋tych F,G. ----- W ksi膮偶ce Engelking poleca zauwa偶y膰 te偶 rzecz 艂atwiejsz膮, 偶e normalno艣膰 przestrzeni poci膮ga za sob膮 ten warunek o istnieniu ci膮gu zbior贸w otwartych $W_i, i\in N$ spe艂niaj膮cego $F\subset \bigcup W_i \subset W$, gdzie F domkni臋ty, W otwarty, $F\subset W$ oraz $cl W_i\subset W$ dla i naturalnego. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj