Topologia, zadanie nr 4581

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
karolinam postów: 23	2016-05-21 17:26:40 Zadanie 1: Udowodnij, że iloczyn kartezjański przeliczalnej ilości przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy. Zadanie 2: Pokazać, że przestrzeń $T_3$ spełniająca II aksjomat przeliczalności jest przestrzenią typu $T_4.$ Teoria: X-przestrzeń topologiczna $x \in T_3 \Leftrightarrow x\in T_1\wedge \forall_{x_0 \in X} \forall_{x_0 \notin A=cl(A) \subset X} \exists_{U_1,U_2\in O} x_0 \in U_1 \wedge A\subset U_2 \wedge U_1 \cap U_2=\emptyset $ $x \in T_4 \Leftrightarrow x\in T_1\wedge \forall_{A_1,A_2 -domknięte} A_1 \cap A_2=\emptyset \Rightarrow \exists_{U_1,U_2\in O} A_1 \subset U_1 \wedge A_2 \subset U_2 \wedge U_1 \cap U_2=\emptyset $. Def. Przestrzeń nazywamy ośrodkową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w niej przeliczalny gęsty zbiór. Def. Jeżeli przestrzeń ma przeliczalną bazę, to mówimy, że spełnia II-gi aksjomat przeliczalności.

tumor postów: 8070	2016-05-21 22:42:52 1. Niech $(X_i, D_i)$ będą przeliczalną rodziną przestrzeni z ośrodkami. Niech $x_i\in D_i$ będzie punktem wyróżnionym w ośrodku $D_i$ dla każdego i. Rozważmy teraz iloczyny $\Pi A_i$, gdzie skończona ilość zbiorów $A_i$ jest równa $D_i$, a wszystkie pozostałe są równe $\{x_i\}$. Każdy taki iloczyn ma taką moc jak iloczyn kartezjański skończenie wielu zbiorów przeliczalnych, czyli jest przeliczalny. Ilość iloczynów, w których k zbiorów $A_i$ jest równa $D_i$ jest równa ilości k-elementowych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, czyli jest ich przeliczalnie wiele. Zatem suma wszystkich elementów wszystkich takich iloczynów jest zbiorem przeliczalnym i oznaczmy ją $D$. Jest to ośrodek. Uzasadnienie: $U=\Pi U_i$ jest zbiorem bazowym niepustym w przestrzeni Tichonowa, to znaczy, że skończona ilość zbiorów $U_i$ jest różna od $X_i$. Oznaczmy je $U_1,...,U_m$. Należą do nich odpowiednio elementy $d_1,...,d_m$ takie, że $d_i\in D_i$. Wobec tego weźmy iloczyn $\Pi A_i$ opisany jak wyżej, w którym zbiorami $A_i$ różnymi od $\{x_i\}$ są zbiory $D_1,...,D_m$. Stąd $U\cap D$ niepusty.

tumor postów: 8070	2016-05-22 12:35:29 2. (Lemat 1.5.15 w 'Topologii ogólnej' Engelkinga) Niech przestrzeń spełnia $T_3$ (czyli przy okazji $T_1$). Weźmy F domknięty i W otwarty, $F\subset W$. W` domknięty, czyli z każdym $x\in F$ ma otoczenia rozłączne, czyli każdy $x\in F$ ma otoczenie rozłączne z W`. Mamy bazę przeliczalną, czyli wystarczy przeliczalnie wiele takich otoczeń $W_i, i\in N$. Przy tym skoro każdy ze zbiorów $W_i$ był rozłączny z otoczeniem zbioru W`, to i domknięcia zbiorów $W_i$ są rozłączne z W`. Mamy zatem $F\subset \bigcup W_i \subset W$, a także $clW_i\subset W$ dla wszystkich $i$ naturalnych. Niech teraz F, G będą zbiorami domkniętymi. Wobec tego istnieją ciągi zbiorów otwartych $W_i, V_i$ takie, że $F\subset \bigcup_{i \in N} W_i \subset G`$ oraz $clW_i \subset G`$ dla $i\in N$ $G\subset \bigcup_{i \in N} V_i \subset F`$ oraz $clV_i \subset F`$ dla $i\in N$. Niech teraz $A_1=W_1\backslash(cl V_1)$ ($A_1$ zatem otwarty, a nie odejmujemy żadnych punktów ze zbioru F, bo $clV_i$ rozłączne z F) $B_1=V_1\backslash(cl W_1)$ i dalej $A_k=W_k\backslash(\bigcap_{i\le k} cl V_i)$ $B_k=V_k\backslash(\bigcap_{i\le k} cl W_i)$ Zbiory $A_i$ otwarte pokrywają F, zbiory $B_i$ otwarte pokrywają G. Żaden $W_j$ nie ma części wspólnej z $V_k$, dla j,k naturalnych. Wobec tego $A=\bigcup A_i$ $B=\bigcup B_i$ są rozłącznymi otwartymi otoczeniami zbiorów domkniętych F,G. ----- W książce Engelking poleca zauważyć też rzecz łatwiejszą, że normalność przestrzeni pociąga za sobą ten warunek o istnieniu ciągu zbiorów otwartych $W_i, i\in N$ spełniającego $F\subset \bigcup W_i \subset W$, gdzie F domknięty, W otwarty, $F\subset W$ oraz $cl W_i\subset W$ dla i naturalnego.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj