Analiza matematyczna, zadanie nr 4588

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
brightnesss postów: 113	2016-05-23 12:47:29 Obliczyc $a) \int_{0}^{1/2}arcsinxdx $ $ b) \int_{0}^{\pi/2}(xsinx)^{2}dx $ $ c)\int_\frac{dx}{x(\sqrt{1-(lnx)^2)}}$ Wiadomość była modyfikowana 2016-05-23 12:48:55 przez brightnesss

tumor postów: 8070	2016-05-23 13:44:23 Całki nieoznaczone nie są na jakimś szczególnym poziomie c) podstawienie $lnx=t$ $\frac{1}{x}dx=dt $ $\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$ a) przez części $\int 1*arcsinxdx$ a potem przez podstawienie b) $x^2sin^2x$ przez części $x^32sinxcosx=x^3sin2x$ a potem jeszcze przez części

brightnesss postów: 113	2016-05-23 14:07:55 Wiem, natomiast dopiero dziś zaczęlam dopiero z nimi przygodę. Dziękuję :)

tumor postów: 8070	2016-05-23 17:26:40 c) poznajemy, że całka chce być zrobiona przez podstawienie, gdy ma strukturę $\int f(g(x))g`(x) dx$ czyli gdy dostrzegamy funkcję g i jej pochodną g` w przypadku $\int \frac{1}{\sqrt{1-ln^2x}}\frac{1}{x}dx$ widzimy, że $g(x)=lnx$ i $g`(x)=\frac{1}{x}$ a funkcją f jest to, co tam zostaje w odpowiednim miejscu. Całka $\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$ jest w tabelce podstawowych całek. ------- $x^nsinx$ $x^ncosx$ $x^ne^x$ takie całki zawsze wyjdą przez części. Robiąc pochodną z $x^n$ obniżamy stopień wielomianu o jeden. Funkcja pierwotna $e^x$ wynosi $e^x$, natomiast sinx ma kolejne pochodne cosx -sinx -cosx sinx czyli zmieniają się w kółko, podobnie funkcje pierwotne tylko w przeciwnym kierunku. Wobec tego metodą przez części upraszczamy sobie przykład zniżając skomplikowanie przy $x^n$, ale nie zwiększając skomplikowania drugiej części. ----- Wobec tego przykład $x^2sin^2x$ da się zrobić przez części, byle zlikwidować kwadrat przy sinusie. Wobec tego można skorzystać na przykład ze wzoru na $sin2x$. A wtedy kilkukrotne całkowanie przez części doprowadzi do wyniku. ------ a) $arcsinx$ można też całkować na przykład przyjmując $x=sint$ $dx=costdt$ dostaniemy całkę z $arcsin(sint)costdt$ czyli z $tcost$, co robimy przez części. Ale wygodnie zrobić od razu przez części jako $1arcsinx$ powstanie $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ a wtedy zauważamy, że mamy tu pewną funkcję g i jej pochodną g`...

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj