logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4588

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-05-23 12:47:29

Obliczyc

$a) \int_{0}^{1/2}arcsinxdx
$

$
b) \int_{0}^{\pi/2}(xsinx)^{2}dx
$

$
c)\int_\frac{dx}{x(\sqrt{1-(lnx)^2)}}$

Wiadomość była modyfikowana 2016-05-23 12:48:55 przez brightnesss

tumor
postów: 8085
2016-05-23 13:44:23

Całki nieoznaczone nie są na jakimś szczególnym poziomie

c) podstawienie $lnx=t$
$\frac{1}{x}dx=dt
$
$\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$

a) przez części
$\int 1*arcsinxdx$

a potem przez podstawienie

b) $x^2sin^2x$
przez części
$x^32sinxcosx=x^3sin2x$
a potem jeszcze przez części


brightnesss
postów: 113
2016-05-23 14:07:55

Wiem, natomiast dopiero dziś zaczęlam dopiero z nimi przygodę. Dziękuję :)


tumor
postów: 8085
2016-05-23 17:26:40

c)

poznajemy, że całka chce być zrobiona przez podstawienie, gdy ma strukturę
$\int f(g(x))g`(x) dx$

czyli gdy dostrzegamy funkcję g i jej pochodną g`

w przypadku $\int \frac{1}{\sqrt{1-ln^2x}}*\frac{1}{x}dx$
widzimy, że $g(x)=lnx$ i $g`(x)=\frac{1}{x}$
a funkcją f jest to, co tam zostaje w odpowiednim miejscu.

Całka $\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$ jest w tabelce podstawowych całek.

-------

$x^nsinx$
$x^ncosx$
$x^ne^x$

takie całki zawsze wyjdą przez części. Robiąc pochodną z $x^n$ obniżamy stopień wielomianu o jeden. Funkcja pierwotna $e^x$ wynosi $e^x$, natomiast sinx ma kolejne pochodne
cosx
-sinx
-cosx
sinx
czyli zmieniają się w kółko, podobnie funkcje pierwotne tylko w przeciwnym kierunku.
Wobec tego metodą przez części upraszczamy sobie przykład zniżając skomplikowanie przy $x^n$, ale nie zwiększając skomplikowania drugiej części.

-----

Wobec tego przykład $x^2sin^2x$ da się zrobić przez części, byle zlikwidować kwadrat przy sinusie.
Wobec tego można skorzystać na przykład ze wzoru na $sin2x$.
A wtedy kilkukrotne całkowanie przez części doprowadzi do wyniku.



------

a) $arcsinx$ można też całkować na przykład przyjmując $x=sint$
$dx=costdt$
dostaniemy całkę z
$arcsin(sint)costdt$
czyli z $tcost$, co robimy przez części.
Ale wygodnie zrobić od razu przez części jako $1*arcsinx$
powstanie $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
a wtedy zauważamy, że mamy tu pewną funkcję g i jej pochodną g`...

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 10 drukuj