logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza funkcjonalna, zadanie nr 4599

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

jenny_to_ja
postów: 7
2016-05-25 19:10:06

Zadanie. Pokazać, że odwzorowanie jest liniowe i ciągłe. A: $l^{1}\rightarrow R^{3}$
$A(x_{1},x_{2},x_{3},...)=(\sum_{i=1}^{+\infty}x_{i},\sum_{i=2}^{+\infty}x_{i},\sum_{i=3}^{+\infty}x_{i})$
(w R^3 mamy normę taksówkową).


janusz78
postów: 820
2016-05-26 14:36:51

a)

Sprawdź własność

- addytywności:

$ A(x+y) = A(x)+A(y),$

- jednorodności:

$ A(\alpha x) = \alpha A(x) $

odwzorowania.

b)

Sprawdź ograniczoność odwzorowania:

$ |Ax| \leq C\|x\| _{1}$




jenny_to_ja
postów: 7
2016-05-26 22:10:37

Dobrze. A czy byłbyś w stanie sprawdzić czy dobrze to rozpisuję ?
a) A(x+y)=A(x)+A(y)
$|| \sum_{i=1}^{\infty}(x_{i} + y_{i}),\sum_{i=2}^{\infty}(x_{i} + y_{i}),...||=||\sum_{i=1}^{\infty}x_{i} + \sum_{i=1}^{\infty}y_{i},\sum_{i=2}^{\infty}x_{i} + \sum_{i=1}^{\infty}y_{i},...||
=|\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}| + |\sum_{i=1}^{\infty}y_{i}|+|\sum_{i=2}^{\infty}x_{i}| + |\sum_{i=1}^{\infty}y_{i}|+...
= |\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}|+\sum_{i=2}^{\infty}x_{i}|+|\sum_{i=1}^{\infty}y_{i}|+|\sum_{i=1}^{\infty}y_{i}|+...
=||\sum_{i=1}^{\infty}x_{i} ,\sum_{i=2}^{\infty}x_{i} ,...||+||\sum_{i=1}^{\infty}y_{i} ,\sum_{i=2}^{\infty}y_{i} ,...||$

$ A(\alpha x) = \alpha A(x)$
$||\sum_{i=1}^{\infty}\alpha x_{i} ,\sum_{i=2}^{\infty}\alpha x_{i} ,...||=
||\\alpha sum_{i=1}^{\infty}x_{i} ,\alpha \sum_{i=2}^{\infty} x_{i} ,...||=
||\alpha \(sum_{i=1}^{\infty}x_{i} , \sum_{i=2}^{\infty} x_{i} ,...)||=\alpha ||\(sum_{i=1}^{\infty}x_{i} , \sum_{i=2}^{\infty} x_{i} ,...)||$


janusz78
postów: 820
2016-05-26 22:33:54

Dobrze, popraw TeX drugi zapis.


jenny_to_ja
postów: 7
2016-05-27 11:43:18

$||\sum_{i=1}^{\infty}\alpha x_{i} ,\sum_{i=2}^{\infty}\alpha x_{i} ,...||=||\alpha \sum_{i=1}^{\infty}x_{i} ,\alpha \sum_{i=2}^{\infty} x_{i} ,...||=
||\alpha (\sum_{i=1}^{\infty}x_{i} , \sum_{i=2}^{\infty} x_{i} ,...)||=\alpha ||\sum_{i=1}^{\infty}x_{i} ,\sum_{i=2}^{\infty} x_{i} ,... |$

Niestety w tym sprawdzeniu ograniczoności nie wiem co ma być stałą C. Jedyny wyraz który powtarza się na każdej współrzędnej to $x_{1}$ ?? Czy może jedynka ?


janusz78
postów: 820
2016-05-27 14:23:48

Pierwszy wyraz powtarza się tylko w pierwszej sumie i jak słusznie zauważyłeś możemy przyjąć go jako stałą $C.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj