logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Geometria, zadanie nr 4603

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2016-05-26 18:46:59

Niech D bedzie punktem symetrycznym do ortocentrum wzgledem boku BC. Odleglosc D od boku AC wynosi h, a kat C=45. Oblicz pole czworokata ABDC.

Zauwazmy, ze punkt D lezy na okregu opisanym na trojkacie ABC. (jak to wykazac?).
Zakladajac, ze lezy mamy dalej.
Kat ADB=45 i trojkat DEB jest rownoramienny (E punkt przeciecia sie wysokosci opuszczonej z A na bok BC).
Oznacza to, ze czworokat ABDC jest trapezem o prostopadlych przekatnych (przekatne sa prostopadle bo kat AEC=90, ale dlaczego jest to trapez?).
Stad jego wysokosc jest rowna pierwszej linii sredniej (dlaczego?).
Pierwsza linia srednia jest rowna $\frac{a+b}{2}$.
Odleglosc D od boku AC wynosi h, czyli wysokosc jest rowna h. Wiec h=$\frac{a+b}{2}$.
Pole czworokata ABDC=$\frac{a+b}{2}$*wysokosc=h*h=$h^{2}$.


tumor
postów: 8085
2016-05-29 21:49:28

Niech D` będzie ortocentrum.
BCA ma 45 stopni
BD` prostopadły do AC (skoro leży na wysokości)
czyli CBD` ma 45 stopni, czyli BE=D`E=DE (ostatnia równość z symetrii w treści), kąt BED prosty (bo AEC prosty), czyli kąty BDE i DBE po 45 stopni.

Jeśli BDE (=BDA) ma taką miarę jak kąt wpisany BCA i opiera się na tym samym łuku, to też jest kątem wpisanym.
(gdyby to nie był kąt wpisany a miał tę samą miarę, to kąt wpisany oparty na tym samym łuku o ramieniu na prostej AD nie miałby 45 stopni, co by przeczyło twierdzeniu o kątach wpisanych)

W czworokącie ABDC przekątne dzielą się na odcinki równej długości, AE=CE (bo kąt przy E prosty, przy C 45 stopni), BE=DE (wyjaśniłem wyżej). Dlatego to trapez równoramienny. Przekątne pod kątem prostym z powodów oczywistych.

Trójkąt AEC ma wysokość opuszczoną na AC równą połowie AC.
Trójkąt BED ma wysokość opuszczoną na BD równą połowie BD. Wobec tego suma tych wysokości równa h wynosi tyle co suma połówek podstaw trapezu, czyli połowa sumy podstaw trapezu.

----

I nie podbijaj zadań, póki są na pierwszej stronie. Są widoczne. Jak się komuś zechce, to zrobi. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj