logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4605

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sialalam
postów: 47
2016-05-26 19:24:49

Witam utknelam na zadaniu w którym mam wykazać że dla funkcji

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{\infty}^{v=1}(a_{v} cos(vx) + b_{v}sin(vx))$ z $x\in [0,2π]$ a szereg na podanym przedziale jest zbieżny.

Trzeba pokazać że
Dla wszystkich $n\in N_{0}$ obowiązuje:
$a_{n}= \frac{1}{π}\int_{0}^{2π} f(x) cos(nx) dx$

Oraz $b_{n}= \frac{1}{π}\int_{0}^{2π} f(x) sin(nx) dx$

Widzę że jest to szereg Fouriera ale najczęściej dowód przeprowadzany jest na calce między -π a π i wtedy ładnie się skraca wszystko, dlatego proszę o wyjaśnienie jak postępowac z przedziału podanym tutaj (de facto takim samym okresie naturalnie 2π)


janusz78
postów: 820
2016-05-26 21:33:52

Proszę o czytelny zapis treści zadania w TeX.


sialalam
postów: 47
2016-05-26 22:00:18


Witam utknelam na zadaniu w którym mam wykazać że dla funkcji

$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{v=1}^{\infty}(a_{v}cos(vx)+b_{v}sin(vx))$ z $x\in[0,2\pi]$ a szereg na podanym przedziale jest zbieżny.

Trzeba pokazać że
Dla wszystkich $n\in N_{0}$ obowiązuje:
$a_{n}= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x) cos(nx)dx$

Oraz dla $n\in N$$b_{n}= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x) sin(nx)dx$

Widzę że jest to szereg Fouriera ale najczęściej dowód przeprowadzany jest na calce między $-\pi \pi$ i wtedy ładnie się skraca wszystko, dlatego proszę o wyjaśnienie jak postępowac z przedziału podanym tutaj (de facto takim samym okresie naturalnie $2\pi$)



janusz78
postów: 820
2016-05-29 21:36:25


W przypadku ogólnym prawdziwe jest następujące twierdzenie pochodzące od Lejeune Dirichleta.

Jeżeli $ f $ jest funkcją okresową o okresie $T= 2\pi$, kawałkami gładką na $ R $, to jej szereg Fouriera jest zbieżny punktowo dla każdego $ x\in R$, przy czym

$ \frac{a_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+ b_{n}\sin(nx))= \begin{cases} f(x)\ \ \mbox{jeśli f jest ciągła w x,}\\ \frac{f(x-)+ f(x+)}{2}\ \ \mbox{jeśli f jest nieciągła w x.} \end{cases} $

Z twierdzenia tego wynika, że rozwijając funkcję $ f $w trygonometryczny szereg Fouriera musimy zatroszczyć się aby była ona okresowa - o okresie $2\pi$. Na zbieżność szeregu nie ma wpływu postać przedziału $ [-\pi, \pi]$ czy $ [0, 2\pi]$ czy ogólnie $[ -l, l] $.Zawsze możemy dokonać transformacji jednego przedziału na drugi.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 159 drukuj