Analiza matematyczna, zadanie nr 4605
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sialalam post贸w: 47 |  2016-05-26 19:24:49Witam utknelam na zadaniu w kt贸rym mam wykaza膰 偶e dla funkcji $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{\infty}^{v=1}(a_{v} cos(vx) + b_{v}sin(vx))$ z $x\in [0,2π]$ a szereg na podanym przedziale jest zbie偶ny. Trzeba pokaza膰 偶e Dla wszystkich $n\in N_{0}$ obowi膮zuje: $a_{n}= \frac{1}{π}\int_{0}^{2π} f(x) cos(nx) dx$ Oraz $b_{n}= \frac{1}{π}\int_{0}^{2π} f(x) sin(nx) dx$ Widz臋 偶e jest to szereg Fouriera ale najcz臋艣ciej dow贸d przeprowadzany jest na calce mi臋dzy -π a π i wtedy 艂adnie si臋 skraca wszystko, dlatego prosz臋 o wyja艣nienie jak post臋powac z przedzia艂u podanym tutaj (de facto takim samym okresie naturalnie 2π) |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-05-26 21:33:52 Prosz臋 o czytelny zapis tre艣ci zadania w TeX. |
sialalam post贸w: 47 | 2016-05-26 22:00:18 Witam utknelam na zadaniu w kt贸rym mam wykaza膰 偶e dla funkcji $f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{v=1}^{\infty}(a_{v}cos(vx)+b_{v}sin(vx))$ z $x\in[0,2\pi]$ a szereg na podanym przedziale jest zbie偶ny. Trzeba pokaza膰 偶e Dla wszystkich $n\in N_{0}$ obowi膮zuje: $a_{n}= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x) cos(nx)dx$ Oraz dla $n\in N$$b_{n}= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x) sin(nx)dx$ Widz臋 偶e jest to szereg Fouriera ale najcz臋艣ciej dow贸d przeprowadzany jest na calce mi臋dzy $-\pi \pi$ i wtedy 艂adnie si臋 skraca wszystko, dlatego prosz臋 o wyja艣nienie jak post臋powac z przedzia艂u podanym tutaj (de facto takim samym okresie naturalnie $2\pi$) |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-05-29 21:36:25 W przypadku og贸lnym prawdziwe jest nast臋puj膮ce twierdzenie pochodz膮ce od Lejeune Dirichleta. Je偶eli $ f $ jest funkcj膮 okresow膮 o okresie $T= 2\pi$, kawa艂kami g艂adk膮 na $ R $, to jej szereg Fouriera jest zbie偶ny punktowo dla ka偶dego $ x\in R$, przy czym $ \frac{a_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+ b_{n}\sin(nx))= \begin{cases} f(x)\ \ \mbox{je艣li f jest ci膮g艂a w x,}\\ \frac{f(x-)+ f(x+)}{2}\ \ \mbox{je艣li f jest nieci膮g艂a w x.} \end{cases} $ Z twierdzenia tego wynika, 偶e rozwijaj膮c funkcj臋 $ f $w trygonometryczny szereg Fouriera musimy zatroszczy膰 si臋 aby by艂a ona okresowa - o okresie $2\pi$. Na zbie偶no艣膰 szeregu nie ma wp艂ywu posta膰 przedzia艂u $ [-\pi, \pi]$ czy $ [0, 2\pi]$ czy og贸lnie $[ -l, l] $.Zawsze mo偶emy dokona膰 transformacji jednego przedzia艂u na drugi. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj