Topologia, zadanie nr 4619

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mate_matykaa postów: 117	2016-05-29 18:20:14 1. wykazać że dowolny ciąg Cauchy'ego jes ciągiem ograniczonym. 2. udowodnić, że jeżeli ciąg Cauchy'ego ($x_{n}$) zawiera podciąg zbieżny do $x_{0}$, to ciąg ($x_{n}$) jest zbieżny do $x_{0}$.

tumor postów: 8070	2016-05-29 18:54:09 1. Przypuśćmy, że dla każdego $M$ rzeczywistego istnieje wyraz ciągu spełniający $\mid a_n \mid >M$. Wówczas weźmy $a_m$ dowolnie z ciągu, $\epsilon>0$ dowolnie, niech $M=\epsilon+\sum_{i\le m} \mid a_i \mid$, istnieje $a_n$, że $\mid a_n \mid >M$, czyli $\mid a_m-a_n\mid>\epsilon$ 2. Jeśli mamy podciąg zbieżny do granicy $g$, to wystarczy zgodnie z definicją granicy i definicją ciągu Cauchy'ego pokazać, że cały ciąg jest zbieżny do g. W tym celu zauważamy, że od pewnego miejsca w podciągu mamy $\mid x_k-g \mid <0,5*\epsilon$ i od pewnego miejsca w ciągu Cauchy'ego mamy $\mid x_m-x_n \mid<0,5\epsilon$ i korzystamy z warunku trójkąta. Przy tym $\mid \cdot \mid$ oznacza tu odległość w sensie dowolnej metryki.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj