logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 4619

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mate_matykaa
postów: 117
2016-05-29 18:20:14

1. wykazać że dowolny ciąg Cauchy'ego jes ciągiem ograniczonym.
2. udowodnić, że jeżeli ciąg Cauchy'ego ($x_{n}$) zawiera podciąg zbieżny do $x_{0}$, to ciąg ($x_{n}$) jest zbieżny do $x_{0}$.


tumor
postów: 8085
2016-05-29 18:54:09

1.
Przypuśćmy, że dla każdego $M$ rzeczywistego istnieje wyraz ciągu spełniający $\mid a_n \mid >M$.


Wówczas weźmy $a_m$ dowolnie z ciągu, $\epsilon>0$ dowolnie, niech
$M=\epsilon+\sum_{i\le m} \mid a_i \mid$, istnieje $a_n$, że
$\mid a_n \mid >M$, czyli $\mid a_m-a_n\mid>\epsilon$

2.
Jeśli mamy podciąg zbieżny do granicy $g$, to wystarczy zgodnie z definicją granicy i definicją ciągu Cauchy'ego pokazać, że cały ciąg jest zbieżny do g.
W tym celu zauważamy, że od pewnego miejsca w podciągu mamy $\mid x_k-g \mid <0,5*\epsilon$ i od pewnego miejsca w ciągu Cauchy'ego mamy $\mid x_m-x_n \mid<0,5\epsilon$ i korzystamy z warunku trójkąta.

Przy tym $\mid \cdot \mid$ oznacza tu odległość w sensie dowolnej metryki.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 99 drukuj