logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 4620

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mate_matykaa
postów: 117
2016-05-29 18:41:52

(X,$d_{1}$)(X,$d_{2}$) -przestrzenie metryczne
$d_{1}$,$d_{2}$ - metryki równoważne
wykazać, że:
a)przestrzeń (X,$d_{1}$) jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy gdy ośrodkowa jest przestrzeń (X,$d_{2}$).
b)przestrzeń (X,$d_{1}$) jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy zwarta jest przestrzeń (X,$d_{2}$).

(X,d) jest ośrodkowa, gdy istnieje zbiór A$\subset$X, taki że A przeliczalny i gęsty.
(X,d) jest zwarta, gdy $\forall_{xn zawarty w A}$$\exists_{xkn-podciąg ciagu xn}$$\exists_{xo należace do X}$ $x_{kn}$$\rightarrow$$x_{0}$


mate_matykaa
postów: 117
2016-05-29 18:43:25

nie Algebra, tylko TOPOLOGIA


tumor
postów: 8085
2016-05-29 19:12:34

czemu nagle nie umiesz napisać inkluzji i piszesz ją słownie, skoro wcześniej umiesz ją napisać?

należenie to polecenie \in

----

Niech $K_1(x,r)$ oznacza kulę w sensie $d_1$ o środku x i promieniu r.

Dla metryk równoważnych mamy, że dla $y\in K_1(x,r)$ istnieje
$K_2(y,r_2)\subset K_1(x,r)$ i analogiczny warunek w drugą stronę (po zamianie metryk miejscami).

Wobec tego jeśli mamy $K_1(x,r)$ dowolną kulę niepustą i ośrodki $D_1, D_2$, w sensie odpowiednio $d_1, d_2$, to istnieje $y\in K_1(x,r)$ taki, że
$K_1(y,r_1)\subset K_2(y,r_2)\subset K_1(x,r)$ no i oczywiście do $K_1(x,r)$ należą i elementy ośrodka $D_1$ i elementy ośrodka $D_2$.

Przestrzeń nazywamy zwartą, gdy każdy ciąg zawiera podciąg zbieżny (i ten warunek masz tak niezbyt czytelnie zapisany).

Weź sobie ciąg $x_n$ mający podciąg zbieżny w sensie $d_1$. Każda kula w sensie $d_1$ do której należy element $x_k$ zawiera też kulę w sensie $d_2$ o środku w $x_k$, zatem podciąg zbieżny w sensie $d_1$ jest zbieżny w sensie $d_2$. (oczywiście trzeba zapisać ściślej, niech g będzie granicą podciągu zbieżnego w sensie $d_1$, robimy podciąg kul o malejących promieniach w sensie $d_2$ o środku g, potem zawierające się w tych kulach kule w sensie $d_1$ o środku w g i podciąg ciągu $x_n$ taki, że jego elementy należą do kul w sensie $d_1$, zatem i w sensie $d_2$...)

Mam nadzieję zauważasz, że tu jest idea dowodu, który wymaga nieco ściślejszej redakcji. Ale drogę wskazuję, w końcu potrzebujesz tylko pomocy.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj