Algebra, zadanie nr 4620
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| mate_matykaa postów: 117 |  2016-05-29 18:41:52(X,$d_{1}$)(X,$d_{2}$) -przestrzenie metryczne $d_{1}$,$d_{2}$ - metryki równoważne wykazać, że: a)przestrzeń (X,$d_{1}$) jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy gdy ośrodkowa jest przestrzeń (X,$d_{2}$). b)przestrzeń (X,$d_{1}$) jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy zwarta jest przestrzeń (X,$d_{2}$). (X,d) jest ośrodkowa, gdy istnieje zbiór A$\subset$X, taki że A przeliczalny i gęsty. (X,d) jest zwarta, gdy $\forall_{xn zawarty w A}$$\exists_{xkn-podciąg ciagu xn}$$\exists_{xo należace do X}$ $x_{kn}$$\rightarrow$$x_{0}$ |
| mate_matykaa postów: 117 | 2016-05-29 18:43:25 nie Algebra, tylko TOPOLOGIA  |
| tumor postów: 8070 | 2016-05-29 19:12:34 czemu nagle nie umiesz napisać inkluzji i piszesz ją słownie, skoro wcześniej umiesz ją napisać? należenie to polecenie \in ---- Niech $K_1(x,r)$ oznacza kulę w sensie $d_1$ o środku x i promieniu r. Dla metryk równoważnych mamy, że dla $y\in K_1(x,r)$ istnieje $K_2(y,r_2)\subset K_1(x,r)$ i analogiczny warunek w drugą stronę (po zamianie metryk miejscami). Wobec tego jeśli mamy $K_1(x,r)$ dowolną kulę niepustą i ośrodki $D_1, D_2$, w sensie odpowiednio $d_1, d_2$, to istnieje $y\in K_1(x,r)$ taki, że $K_1(y,r_1)\subset K_2(y,r_2)\subset K_1(x,r)$ no i oczywiście do $K_1(x,r)$ należą i elementy ośrodka $D_1$ i elementy ośrodka $D_2$. Przestrzeń nazywamy zwartą, gdy każdy ciąg zawiera podciąg zbieżny (i ten warunek masz tak niezbyt czytelnie zapisany). Weź sobie ciąg $x_n$ mający podciąg zbieżny w sensie $d_1$. Każda kula w sensie $d_1$ do której należy element $x_k$ zawiera też kulę w sensie $d_2$ o środku w $x_k$, zatem podciąg zbieżny w sensie $d_1$ jest zbieżny w sensie $d_2$. (oczywiście trzeba zapisać ściślej, niech g będzie granicą podciągu zbieżnego w sensie $d_1$, robimy podciąg kul o malejących promieniach w sensie $d_2$ o środku g, potem zawierające się w tych kulach kule w sensie $d_1$ o środku w g i podciąg ciągu $x_n$ taki, że jego elementy należą do kul w sensie $d_1$, zatem i w sensie $d_2$...) Mam nadzieję zauważasz, że tu jest idea dowodu, który wymaga nieco ściślejszej redakcji. Ale drogę wskazuję, w końcu potrzebujesz tylko pomocy. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj