logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Geometria, zadanie nr 4622

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2016-05-30 07:22:10

Dane sa dwa punkty A i B. Wyznacz zbior wszystkich punktow X, dla ktorych trojkat ABX jest ostrokatny.

Rysujemy okrag, ktorego srednica jest AB. Rysujemy proste styczne do A i do B (rownolegle).

Wowczas
Trojkat ABX jest prostokatny, gdy:
1. Punkt X lezy na okregu. Wowczas kat AXB (BXA) jest wpisany oparty na srednicy, czyli jest
rowny $90^{o}$.
2. Punkt X lezy na prostej stycznej. Wowczas kat BAX (XAB, XBA, ABX) jest rowny $90^{o}$ bo prosta
styczna w punkcie A (w punkcie B) jest prostopadla do srednicy AB.

Trojkat ABX jest rozwartokatny, gdy:
1. Punkt X lezy poza prostymi stycznymi. Wowczas kat BAX (XAB, XBA, ABX) bedzie wiekszy od $90^{o}$
2. Punkt X lezy wewnatrz okregu, ale tutaj nie wiem jak uzasadnic.....................
Trojkat ABX jest ostrokatny, gdy:
1. Punkt X lezy poza okregiem i miedzy prostymi stycznymi, ale jak uzasadnic?

Jezeli punkt X lezy na prostej zawierajacej srednice AB to punkty A, B, X sa wspolliniowe,
czyli nie mozna utworzyc zadnego trojkata.



tumor
postów: 8085
2016-05-30 07:53:25

Prostokątny
1, 2 ok

Rozwartokątny
1. ok
2. Jeśli punkt leży wewnątrz okręgu, to przedłuż AX tak, by AX` był cięciwą okręgu. AXB większy niż AX`B, natomiast AX`B prosty

(możesz też użyć związku, że w rozwartokątnym o najdłuższym boku c będzie $c^2>a^2+b^2$, co albo udowodnisz geometrycznie, albo wyprowadzisz z tw. cosinusów. Skądinąd na studiach wypada umieć uzasadnić tw. cosinusów, co się robi iloczynem skalarnym)

Ostrokątny
1. że ostry jest kąt przy X uzasadnimy analogicznie do rozwartokątnego punktu 2, teraz X` leży na przecięciu okręgu i AX.
Że ostre są kąty przy A i przy B zobaczymy, jeśli poprowadzimy z X wysokość. Skoro jest ona równoległa do stycznych to znajduje się pomiędzy nimi, wobec tego opada na podstawę a nie jej przedłużenie.


(Przy trójkątach prostokątnym i rozwartokątnym wystarczyło pokazać, że jeden z kątów jest prosty lub rozwarty. W przypadku ostrokątnego warunkiem koniecznym i wystarczającym jest, że wszystkie trzy kąty są ostre, to też musimy pokazywać)


geometria
postów: 854
2016-05-30 15:49:22

Kat przy X jest ostry, bo AXB jest mniejszy niz AX'B a AX'B jest prosty.

Odnosnie tej wysokosci.
Wysokosc poprowadzona z X zawsze przeciez bedzie rownolegla do stycznych nawet jesli trojkat bedzie rozwartokatny a wtedy wysokosc jest na przedluzeniu.


tumor
postów: 8085
2016-05-30 17:21:38

Ja wiem, że zawsze jest równoległa do stycznych, dlatego piszę "skoro jest równoległa". ;) Musimy użyć tego faktu, żeby uzasadnić, że wysokość opadnie na podstawę, ale do tego musi być jeszcze tak, że wierzchołek jest pomiędzy stycznymi.

---

Kąt AXB jest mniejszy lub równy lub większy AX`B zależnie od tego, o którym akurat trójkącie mówimy, dlatego się nie odniosę, bo nie wiem, o którym mówisz.



geometria
postów: 854
2016-05-30 17:28:38

Chodzilo mi o trojkat ostrokatny.


tumor
postów: 8085
2016-05-30 17:44:04

Jeśli trzeci wierzchołek jest między stycznymi, to ostre są kąty przy podstawie, a jeśli do tego X jest poza kołem, to rzeczywiście AXB jest mniejszy niż AX`B, wobec tego ostry jest też kąt przy X. Wszystko się zgadza.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 137 drukuj