logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4627

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tomek987
postów: 103
2016-05-30 22:59:27

Funkcja f: [0,1] $\rightarrow$ [0,1] jest funkcją różniczkowalną. Wiemy, że f(0)=0 i f(1)=1 oraz $\forall_{x\in[0,1]}$ f '(x)>0. Udowodnij, że
$\int_{0}^{1}$ f(x)dx + $\int_{0}^{1}$ f$^{-1}$(x)dx = 1

Jaka jest geometryczna interpretacja tej równości?

Czy jeśli jeśli zamiast różniczkowalności i znaku pochodnej będzie, że f jest ciągła i ściśle rosnąca to ta nierówność też będzie zachodzić?

Wiadomość była modyfikowana 2016-05-30 23:00:04 przez tomek987

tumor
postów: 8085
2016-05-31 06:27:46

Wykres funkcji f sobie rośnie od (0,0) do (1,1). Pierwsza całka to pole pod wykresem (oczywiście wewnątrz kwadratu o boku 1).


Jeśli w głowie zamienimy osie układu rolami, czyli z osi pionowej bierzemy argumenty, a z poziomej wartości, to drugą całkę interpretujemy jako pole po lewej stronie wykresu, w sumie obie całki wypełniają zatem kwadrat jednostkowy $(0,1)\times (0,1)$.

Funkcje ciągłe ściśle rosnące mają funkcje odwrotne ciągłe i ściśle rosnące. Podobnie malejące. A funkcje ściśle monotoniczne są całkowalne (nawet w sensie Riemanna, bo pewnie o to pytasz). Interpretacja geometryczna będzie zatem ta sama (przy tym istotny jest warunek ciągłości, bo bez niego funkcja odwrotna mogłaby się różnić dziedziną).


tomek987
postów: 103
2016-06-01 18:43:48

Bardzo dziękuję, bardzo podoba mi się to wytłumaczenie

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 81 drukuj