logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 4628

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mate_matykaa
postów: 117
2016-05-31 09:21:14

czy odwzorowanie f: C$\rightarrow$R dan wzorem: f(z)=Re(g(z,z))+Im(g(z,z)), jest dodatnio określonym funkcjonałem kwadratowym?
g(z,w)=zw (w z kreską na górze-chyba chodzi o to ze sprzężony)+zw (z z kreską na górze)
g: $C^{2}$$\rightarrow$C

wiem, że to po chińsku napisae, ale inaczej nie umiem :/


tumor
postów: 8085
2016-05-31 09:51:12

google można spytać o polecenia TEXa.

Pewnie chodzi o \overline{w}
wyjdzie $\overline{w}$

$g(z,w)=z\overline{w}$
dla $z=a+bi$ będzie
$g(z,z)=z\overline{z}+\overline{z}z=2(a^2+b^2)$
$Re(g(z,z))=g(z,z)=2(a^2+b^2)$
$Im(g(z,z))=Im(2(a^2+b^2))=0$

czyli $f(z)=2(a^2+b^2)$
$f(kz)=f(ka+kbi)=2k^2(a^2+b^2)=k^2f(z)$ jest jednorodna stopnia 2

niech teraz $w=c+di$
ze wzoru polaryzacyjnego
$\frac{1}{2}(f(z+w)-f(z)-f(w))=\frac{1}{2}(2((a+c)^2+(b+d)^2)
-2(a^2+b^2)-2(c^2+d^2))=\frac{1}{2}*2*(2ac+2bd)=2ac+2bd$

Należy jeszcze sprawdzić, czy $g(z,w)=2ac+2bd$ jest formą dwuliniową. Może sprawdzisz? To łatwe warunki.

Jeśli wyjdzie, że tak, to pozostanie sprawdzić, czy dla niezerowych z będzie $f(z)>0$, ale oczywiście będzie.


mate_matykaa
postów: 117
2016-05-31 10:17:46

a jak sprawdzić, czy to odwzorowanie jest dwuliniowe nad C?


mate_matykaa
postów: 117
2016-05-31 10:23:31

w tym ostatnim zdaniu chodzi o to?: f(z)=2($a^{2}$+$b^{2}$) >0
($a^{2}$+$b^{2}$)>0 i w takiej postaci zostawić czy jak?


tumor
postów: 8085
2016-05-31 10:45:35

a czy zgadzasz się z tym, że jeśli $a+bi\neq 0$, to $2a^2+2b^2>0$?

-----

Żeby sprawdzić dwuliniowość sprawdzamy warunki, które masz podane. Wykłady to taka pomoc dla studenta, żeby miał wiedzę.

spełniony ma być warunek
$g(z_1+z_2,w)=g(z_1,w)+g(z_2,w)$
i podobny dla drugiej zmiennej, jak również
$g(kz,w)=k*g(z,w)$
i podobny dla drugiej zmiennej.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj