logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4638

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2016-06-01 08:01:59

Czy twierdzeniem Cantora-Bernsteina mozna nazwac 1) i 2)? (bo roznie sie spotykam)
1) jezeli $|A|\le |B|\wedge |B|\le |A|\Rightarrow |A|=|B|$.
2) jezeli $C\subseteq B\subseteq A$ i |C|=|A|, to |B|=|A|.


tumor
postów: 8085
2016-06-01 09:02:01

Oba.

Tak naprawdę można wyrazić tw. C-B w terminach równoliczności.
Jeśli A jest równoliczny z podzbiorem B, B równoliczny z podzbiorem C, natomiast A równoliczny z C, to wówczas A,B,C równoliczne. (Dowód tw. C-B opiera się bowiem tylko na konstrukcji bijekcji, nie wymaga mocy zbioru).

Twój zapis korzysta z pionowych kreseczek, które wymagają już pojęcia mocy zbioru, a pojęcie mocy (dowolnego) zbioru wymaga pewnika wyboru. Sens tych zdań jest jednak identyczny. W 2) mamy podzbiory, a w 1) dowolne zbiory, ale jeśli mamy już pewnik wyboru, to (z tw. Zermelo) każdy zbiór da się dobrze uporządkować, wobec tego dla dowolnych zbiorów z 1) możemy bez większych trudności przekształcić nasz przypadek do 2).

Ogólnie zatem obojętne, którego wariantu użyjesz. Tak naprawdę dla części matematyków najważniejsze będzie, czy wymagasz pewnika wyboru czy nie, natomiast jakieś szczegóły zapisu twierdzenia pozostaną nieważne.

I jeszcze drobna dygresja - czasem się jakieś twierdzenie z nazwiskiem zapisuje tak, jak się właścicielowi nazwiska nawet nie śniło. Chodzi o to, że tw. zachowuje ideę, pomysł oryginalny, choć często jest teraz zapisywane wygodniej i bardziej ogólnie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj