Algebra, zadanie nr 4641

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mate_matykaa postów: 117	2016-06-01 21:43:44 niech (X,$d_{X}$) i (Y,$d_{Y}$) będą przestrzeniami metrycznymi. rozważmy w przestrzeni X$\times$Y metrykę d(($x_{1}$,$y_{1}$),($x_{2}$,$y_{2}$)):=$d_{X}$($x_{1}$,$x_{2}$)+$d_{Y}$($y_{1}$,$y_{2}$) ($x_{1}$,$y_{1}$),($x_{2}$,$y_{2}$)$\in$X$\times$Y. wykazać, że jeżeli zbiór A$\subset$X jest gęsty (w X) i zbiór B$\subset$Y jest gęsty (w Y), to zbiór A$\times$B jest gęsty (w X$\times$Y) Mam: A gęsty $\Rightarrow$ clA=X B gęsty $\Rightarrow$ clB=Y czyli trzeba udowodnić, że cl(A$\times$B)=X$\times$Y ? tylko jak? może coś takiego: x,y$\in$A$\times$B $\iff$ x$\in$A $\wedge$y$\in$B $\iff$ x$\in$clA $\wedge$ y$\in$clB $\iff$ x$\in$X $\wedge$ y$\in$Y $\iff$ x,y$\in$ X$\times$Y $\Rightarrow$ X$\times$Y =cl(A$\times$B), czyli jest gęsty ??

tumor postów: 8070	2016-06-01 21:52:25 To, co proponujesz, jest nieprawdą, wobec tego nie można zaakceptować :) Możemy skorzystać z faktu, że zbiór gęsty ma niepusty przekrój z każdym zbiorem otwartym niepustym. Weźmy zatem kulę otwartą w $X\times Y$, niech to będzie $K((x,y),r)$. Wówczas zbiór $(x-r/2,x+r/2)\times (y-r/2,y+r/2)$ jest podzbiorem naszej kuli. A skoro $(x-r/2,x+r/2)$ otwarty, to należy do niego element $x_d$ zbioru gęstego A, jeśli $(y-r/2,y+r/2)$ otwarty to należy do niego $y_d$ element zbioru gęstego B, wobec tego do naszej kuli na pewno należy element zbioru $A\times B$.

mate_matykaa postów: 117	2016-06-01 22:03:48 A można wiedzieć, który moment jest nieprawdą? Cała ta ostatnia linijka?

tumor postów: 8070	2016-06-01 22:07:29 Nie jest prawdą $x\in A \wedge y\in B \iff x\in clA \wedge y\in cl B$ nie jest też dowiedzione $cl A \times cl B = cl (A\times B)$, bo tak naprawdę na ten fakt się powołujesz, ale nigdzie go nie dowodzisz.

mate_matykaa postów: 117	2016-06-01 22:12:19 Aha ok. A skąd się to wzięło (x-r/2,x+r/2)$\times$(y-r/2,y+r/2) ? nie rozumiem, czemu r/2, a nie tylko r ?

tumor postów: 8070	2016-06-01 22:27:03 z metryki się wzięło. Jeśli kula ma mieć promień r, to w przypadku metryki z zadania bierzemy r/2 na każdej z dwóch współrzędnych. Nie jest to jedyne wyjście, ale wpisanie tam r nie będzie żadnym wyjściem. Wczytaj się. :) Chcemy, by dwa punkty w metryce z zadania były oddalone o mniej niż r. Wobec tego NA PRZYKŁAD niech są oddalone na każdej współrzędnej o mniej niż r/2, bo skoro odległość to suma odległości po współrzędnych, to ostatecznie otrzymamy mniej niż r. Gdyby współrzędne były trzy, to brałbym r/3. Gdyby w produkcie obowiązywała inna metryka, to jeszcze inaczej byśmy dobierali.

mate_matykaa postów: 117	2016-06-01 22:49:43 Aha, rozumiem. Dzięki :)

mate_matykaa postów: 117	2016-06-06 21:11:10 Potrzeba mi dokończyć to zadanie takim sposobem: A gęsty $\iff$ clA=X $\iff$ X$\subset$clA $\iff$$\forall_{x\in X}$ x$\in$ clA $\iff$ $\forall_{x\in X}$$\exists_{x_{n} \subset A}$ $x_{n}$$\rightarrow$x niech ($x_{0}$,$y_{0}$)$\in$X ? $\exists_{(x_{n},y_{n})}$ $\subset$ A$\times$B ($x_{n}$,$y_{n}$)$\rightarrow$($x_{0}$,$y_{0}$) i co dalej, na tej zasadzie?.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj