logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 4641

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mate_matykaa
postów: 117
2016-06-01 21:43:44

niech (X,$d_{X}$) i (Y,$d_{Y}$) będą przestrzeniami metrycznymi. rozważmy w przestrzeni X$\times$Y metrykę
d(($x_{1}$,$y_{1}$),($x_{2}$,$y_{2}$)):=$d_{X}$($x_{1}$,$x_{2}$)+$d_{Y}$($y_{1}$,$y_{2}$)
($x_{1}$,$y_{1}$),($x_{2}$,$y_{2}$)$\in$X$\times$Y.
wykazać, że
jeżeli zbiór A$\subset$X jest gęsty (w X) i zbiór B$\subset$Y jest gęsty (w Y), to zbiór A$\times$B jest gęsty (w X$\times$Y)

Mam:
A gęsty $\Rightarrow$ clA=X
B gęsty $\Rightarrow$ clB=Y
czyli trzeba udowodnić, że cl(A$\times$B)=X$\times$Y ? tylko jak?
może coś takiego:
x,y$\in$A$\times$B $\iff$ x$\in$A $\wedge$y$\in$B $\iff$ x$\in$clA $\wedge$ y$\in$clB $\iff$ x$\in$X $\wedge$ y$\in$Y $\iff$ x,y$\in$ X$\times$Y $\Rightarrow$ X$\times$Y =cl(A$\times$B), czyli jest gęsty ??



tumor
postów: 8085
2016-06-01 21:52:25

To, co proponujesz, jest nieprawdą, wobec tego nie można zaakceptować :)

Możemy skorzystać z faktu, że zbiór gęsty ma niepusty przekrój z każdym zbiorem otwartym niepustym. Weźmy zatem kulę otwartą w $X\times Y$, niech to będzie $K((x,y),r)$.
Wówczas zbiór $(x-r/2,x+r/2)\times (y-r/2,y+r/2)$ jest podzbiorem naszej kuli. A skoro $(x-r/2,x+r/2)$ otwarty, to należy do niego element $x_d$ zbioru gęstego A, jeśli $(y-r/2,y+r/2)$ otwarty to należy do niego $y_d$ element zbioru gęstego B, wobec tego do naszej kuli na pewno należy element zbioru $A\times B$.


mate_matykaa
postów: 117
2016-06-01 22:03:48

A można wiedzieć, który moment jest nieprawdą? Cała ta ostatnia linijka?




tumor
postów: 8085
2016-06-01 22:07:29

Nie jest prawdą
$x\in A \wedge y\in B \iff x\in clA \wedge y\in cl B$
nie jest też dowiedzione
$cl A \times cl B = cl (A\times B)$, bo tak naprawdę na ten fakt się powołujesz, ale nigdzie go nie dowodzisz.


mate_matykaa
postów: 117
2016-06-01 22:12:19

Aha ok.

A skąd się to wzięło (x-r/2,x+r/2)$\times$(y-r/2,y+r/2) ?
nie rozumiem, czemu r/2, a nie tylko r ?


tumor
postów: 8085
2016-06-01 22:27:03

z metryki się wzięło. Jeśli kula ma mieć promień r, to w przypadku metryki z zadania bierzemy r/2 na każdej z dwóch współrzędnych. Nie jest to jedyne wyjście, ale wpisanie tam r nie będzie żadnym wyjściem.
Wczytaj się. :)

Chcemy, by dwa punkty w metryce z zadania były oddalone o mniej niż r. Wobec tego NA PRZYKŁAD niech są oddalone na każdej współrzędnej o mniej niż r/2, bo skoro odległość to suma odległości po współrzędnych, to ostatecznie otrzymamy mniej niż r.
Gdyby współrzędne były trzy, to brałbym r/3. Gdyby w produkcie obowiązywała inna metryka, to jeszcze inaczej byśmy dobierali.


mate_matykaa
postów: 117
2016-06-01 22:49:43

Aha, rozumiem. Dzięki :)


mate_matykaa
postów: 117
2016-06-06 21:11:10

Potrzeba mi dokończyć to zadanie takim sposobem:
A gęsty $\iff$ clA=X $\iff$ X$\subset$clA $\iff$$\forall_{x\in X}$ x$\in$ clA $\iff$ $\forall_{x\in X}$$\exists_{x_{n} \subset A}$ $x_{n}$$\rightarrow$x
niech ($x_{0}$,$y_{0}$)$\in$X ? $\exists_{(x_{n},y_{n})}$ $\subset$ A$\times$B ($x_{n}$,$y_{n}$)$\rightarrow$($x_{0}$,$y_{0}$)

i co dalej, na tej zasadzie?.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj