logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4646

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2016-06-02 06:44:52

Pokaz, ze nastepujace zbiory sa przeliczalne:
a) Zbiór parami rozłacznych przedziałów na prostej.


tumor
postów: 8085
2016-06-02 07:08:16

Rozważmy następujące podzbiory naszego zbioru z zadania:
$A_0$ - przedziały o długości większej niż 1
$A_n$ - przedziały o długości $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ dla n naturalnego dodatniego.

Jest chyba dla Ciebie oczywiste, że rozłącznych parami przedziałów należących do $A_0$ jest przeliczalnie wiele na prostej, można je zresztą bez trudu ułożyć w ciąg, żeby to pokazać.

Podobnie z dowolnym $A_n$, ma on przedziały parami rozłączne dłuższe niż $\frac{1}{n}$, wobec tego łatwo je ustawić w ciąg, jest ich przeliczalnie wiele.

Skoro
dla każdego $n\in N_0$ zbiorów jest przeliczalnie wiele, to wszystkich jest tyle, ile w przeliczalnej sumie zbiorów przeliczalnych.


----

Jeśli masz zamiar kiedyś mieć topologię, to sobie zapamiętaj fakt, że na prostej rzeczywistej jest najwyżej przeliczalnie wiele przedziałów otwartych parami rozłącznych. Przyda się.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 50 drukuj