logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 4652

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-06-02 19:01:08

Udowodnic nierownosc Schwarza dla rzeczywistej przestrzeni wektorowej z iloczynem skalarnym. Podac warunek kiedy nierownosc staje sie równością.


tumor
postów: 8085
2016-06-02 20:07:56

Birkhoff, MacLane dowodzą tak:

jeśli v,u są wektorami i co najmniej jeden ma normę zerową, to
$(v,u)=0\le 0= \mid u \mid * \mid v \mid$

Jeśli natomiast ich normy są dodatnie, to
$\mid v \mid = c \mid u \mid$ dla pewnego dodatniego c

Wtedy z własności iloczynu skalarnego jest
$c^2(u,u)=c^2 \mid u \mid^2 =c \mid u \mid * \mid v \mid = \mid v \mid^2=(v,v)$
mamy
$0 \le (cu\pm v, cu\pm v)= c^2 \mid u \mid^2 +\mid v \mid^2 \pm 2c(u,v)$
przenosząc ostatni składnik na lewą stronę mamy
$\pm 2c(u,v)\le 2c \mid u\mid*\mid v \mid$
czyli
$\pm (u,v) \le \mid u\mid*\mid v \mid$
czyli $\mid (u,v) \mid \le \mid u\mid*\mid v \mid$


---
Jeśli potrzebujesz warunku równości, polecam przemyśleć oddzielnie, jak ten dowód wyglądałby dla nierówności <, a jak dla równości = w miejscu $\le$ użytego obecnie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 16 drukuj