Topologia, zadanie nr 4657
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
karolinam post贸w: 23 |  2016-06-05 01:22:09Zadanie 1.Pokaza膰, 偶e je偶eli przestrze艅 X jest typu $T_{3} $ , to dla dowolnych r贸偶nych punkt贸w $x,y\in X$ istniej膮 zbiory otwarte $U,V\subset X$ takie, 偶e $x\in U$, $y\in V$, $cl(U)\cap cl(V)= \emptyset$ cl()-domkni臋cie zbioru X-przestrze艅 topologiczna $x\in T_{3}\iff x\in T_{1} \wedge \forall_{x_{0}\in X} \forall_{x_{0}\notin A=cl(A)\subset X} \exists_{U_{1},U_{2}\in O}$ $x_{0}\in U_{1} \wedge A\subset U_{2} \wedge U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$ $x\in T_{1}\iff \forall_{x_{1},x_{2}\in X, x_{1}\neq x_{2}} \exists_{U\in O}$ $(x_{1}\in U \wedge x_{2}\notin U)\vee (x_{1}\notin U \wedge x_{2}\in U)$ Zadanie 2.Pokaza膰, 偶e otwarta podprzestrze艅 przestrzeni o艣rodkowej jest przestrzeni膮 o艣rodkow膮. Zadanie 3.Pokaza膰, 偶e podprzestrze艅 o艣rodkowej przestrzeni metrycznaj jest przestrzeni膮 o艣rodkow膮. *Przestrze艅 nazywamy o艣rodkow膮$\iff$ istnieje w niej przeliczalny g臋sty zbi贸r. Zbi贸r ten nazywamy o艣rodkiem. *X-o艣rodkowa$\iff$w ka偶dym zbiorze otwartym i niepustym istnieje punkt z o艣rodkiem. *Je偶eli X ma przeliczaln膮 baz臋, to jest o艣rodkowa. Dla przestrzeni metryzowalnych zachodzi taka implikacja odwrotna. |
karolinam post贸w: 23 | 2016-06-05 01:44:34 zadanie 4. Pokaza膰, 偶e przestrze艅 metryczna, b臋d膮ca ci艣g艂ym obrazem przestrzeni metrycznej o艣rodkowej jest przestrzeni膮 o艣rodkow膮. Zadanie 5. Udowodni膰, 偶e iloczyn kartezja艅ski przeliczalnej ilo艣ci przestrzeni o艣rodkowych jest o艣rodkowy. *Iloczyn kartezja艅ski przestrzeni topologicznej: 1)X,Y-przestrzenie topologiczne z bazami $B_{1}$ i $B_{2}$, wtedy w $X\times Y$ okre艣lamy baz臋 B w taki spos贸b, 偶e $U\in B \iff U=U_{1}\times U_{2}$, gdzie $U_{1}\in B_{1}$ i $U_{2}\in B_{2}$ 2)$X_{t}$ przestrze艅 topologiczna z baz膮 $B_{t}, t\in T$ w $\pi_{t\in T}X_{t}$ okre艣limy baz臋 B $U\in B \iff U=\pi_{t\in T}U_{t}$, gdzie $U_{T}\in B_{t}$ przez ci膮gi dla prawie wszystkich t, $U_{T}=X_{T}$ $U=U_{1}\times$$\cdots$$\times U_{n}\times$$\pi_{t\neq {1,\cdots , n}}$ $X_{t}$ |
karolinam post贸w: 23 | 2016-06-05 01:54:44 Zadanie 6. Pokaza膰, 偶e przestrze艅 $T_{3}$ spe艂niaj膮ca II-gi aksjomat przeliczalno艣ci jest przestrzeni膮 typu $T_{4}$ *Je偶eli przestrze艅 ma przeliczaln膮 baz臋 m贸wimy, 偶e spe艂nia II-gi aksjomat przeliczalno艣ci. Minimaln膮 moc bazy przstrzeni X nazywamy jej ci臋偶arem. C(X)= m *Rodzin臋 ${U_{t}}_{t\in T}$ podzbior贸w przestrzeni X nazywamy jej pokryciem, gdy $/sum_{t\in T} U_{t}=X$. M贸wimy, 偶e pokrycie jest otwarte/domkni臋te, gdy wszystkie zbiory $U_{t}$ s膮 otwarte/domkni臋te *Je偶eli przestrze艅 spe艂nia II-gi aksjomat przeliczalno艣ci, to z ka偶dego pokrycia otwartego ${H_{t}}_{t\in T}$ tej przestrzeni mo偶na wybra膰 pokrycie przeliczalne. Zadanie 7. a)Pokaza膰, 偶e je偶eli X spe艂nia II-gi aksjomat przeliczalno艣ci, to jest przestrzeni膮 o艣rodkow膮. b)Pokaza膰, 偶e je偶eli przestrze艅 metryczna X jest o艣rodkowa, to spe艂nia II-gi aksjomat przeliczalno艣ci. |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-06-05 21:24:27 Zadanie 3. Na mocy twierdzenia o bazie podprzestrzeni metrycznej, baz膮 podprzestrzeni $ Y $ jest rodzina zbior贸w postaci: $B_{1}= \left\{B\cap Y, B\in B\right\}.$ Poniewa偶 jest to baza co najwy偶ej przeliczalna, wi臋c podprzestrze艅 $ Y $ jest o艣rodkowa. c.b.d.o. Zadanie 4 Je艣li $ f:X \rightarrow Y $ jest funkcj膮 \"na\" -ci膮g艂膮, przekszta艂caj膮c膮 przestrze艅 $ X $ na przestrze艅 $ Y $. Wybieramy co najwy偶ej przeliczalny zbi贸r $ A$ g臋sty w przestrzeni $ X $ $ A = \left\{ a_{n}: n\in N\right\}.$ Nale偶y wykaza膰, 偶e zbi贸r $ f(A)$ co najwy偶ej przeliczalny jako obraz zbioru co najwy偶ej przeliczalnego jest g臋sty w przestrzeni $ Y. $ Niech $U $ b臋dzie niepustym, dowolnym zbiorem otwartym w przestrzeni $ Y. $ Zbi贸r $ f^{-1}(U)$ jest jest otwarty i niepusty w przestrzeni $ X.$ Poniewa偶 zbi贸r $ A$ jest g臋sty w $ X, $ wi臋c istnieje punkt $ a\in A\cap V$, co oznacza, 偶e $f(a)\in f(A)\cap U.$ Dowodzi to g臋sto艣ci zbioru $f(A) $ w przestrzeni $Y.$ c.b.d.o. |
kolorpurpury post贸w: 1 | 2016-06-08 08:19:36 Jak brzmi twierdzenie potrzebne do zadania 3? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-08 08:58:13 Zadania ju偶 by艂y, zosta艂y rozwi膮zane. Wklejanie ich wielokrotnie gdy si臋 z lenistwa nie chce zerkn膮膰 w rozwi膮zania b臋dzie skutkowa膰 kasowaniem post贸w bez ostrze偶enia. http://www.math.edu.pl/forum/temat,studia,4581,0 http://www.math.edu.pl/forum/temat,studia,4580,0 tu na przyk艂ad by艂y 2. O艣rodek ma niepusty przekr贸j z ka偶dym zbiorem otwartym niepustym. Je艣li podprzestrze艅 jest otwarta, to zbiory otwarte w podprzestrzeni s膮 przekrojami zbior贸w otwartych nadprzestrzeni i zbioru otwartego, czyli s膮 otwarte w nadprzestrzeni, czyli je艣li s膮 niepuste, to maj膮 niepusty przekr贸j z o艣rodkiem. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-06-08 08:59:44 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-08 09:07:17 7. a) je艣li ma baz臋 przeliczaln膮, to wystarczy wybra膰 po jednym punkcie z ka偶dego zbioru bazowego, to jest o艣rodek b) baz膮 przeliczaln膮 s膮 kule o promieniach wymiernych i 艣rodkach w punktach o艣rodka. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj