logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 4657

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

karolinam
postów: 23
2016-06-05 01:22:09

Zadanie 1.Pokazać, że jeżeli przestrzeń X jest typu $T_{3} $ , to dla dowolnych różnych punktów $x,y\in X$ istnieją zbiory otwarte $U,V\subset X$ takie, że $x\in U$, $y\in V$, $cl(U)\cap cl(V)= \emptyset$

cl()-domknięcie zbioru
X-przestrzeń topologiczna
$x\in T_{3}\iff x\in T_{1} \wedge \forall_{x_{0}\in X} \forall_{x_{0}\notin A=cl(A)\subset X} \exists_{U_{1},U_{2}\in O}$ $x_{0}\in U_{1} \wedge A\subset U_{2} \wedge U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$
$x\in T_{1}\iff \forall_{x_{1},x_{2}\in X, x_{1}\neq x_{2}} \exists_{U\in O}$ $(x_{1}\in U \wedge x_{2}\notin U)\vee (x_{1}\notin U \wedge x_{2}\in U)$

Zadanie 2.Pokazać, że otwarta podprzestrzeń przestrzeni ośrodkowej jest przestrzenią ośrodkową.

Zadanie 3.Pokazać, że podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni metrycznaj jest przestrzenią ośrodkową.

*Przestrzeń nazywamy ośrodkową$\iff$ istnieje w niej przeliczalny gęsty zbiór. Zbiór ten nazywamy ośrodkiem.
*X-ośrodkowa$\iff$w każdym zbiorze otwartym i niepustym istnieje punkt z ośrodkiem.
*Jeżeli X ma przeliczalną bazę, to jest ośrodkowa. Dla przestrzeni metryzowalnych zachodzi taka implikacja odwrotna.


karolinam
postów: 23
2016-06-05 01:44:34

zadanie 4. Pokazać, że przestrzeń metryczna, będąca ciśgłym obrazem przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest przestrzenią ośrodkową.

Zadanie 5. Udowodnić, że iloczyn kartezjański przeliczalnej ilości przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.

*Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznej:
1)X,Y-przestrzenie topologiczne z bazami $B_{1}$ i $B_{2}$, wtedy w $X\times Y$ określamy bazę B w taki sposób, że $U\in B \iff U=U_{1}\times U_{2}$, gdzie $U_{1}\in B_{1}$ i $U_{2}\in B_{2}$
2)$X_{t}$ przestrzeń topologiczna z bazą $B_{t}, t\in T$ w $\pi_{t\in T}X_{t}$ określimy bazę B
$U\in B \iff U=\pi_{t\in T}U_{t}$, gdzie $U_{T}\in B_{t}$ przez ciągi dla prawie wszystkich t, $U_{T}=X_{T}$
$U=U_{1}\times$$\cdots$$\times U_{n}\times$$\pi_{t\neq {1,\cdots , n}}$ $X_{t}$


karolinam
postów: 23
2016-06-05 01:54:44

Zadanie 6. Pokazać, że przestrzeń $T_{3}$ spełniająca II-gi aksjomat przeliczalności jest przestrzenią typu $T_{4}$

*Jeżeli przestrzeń ma przeliczalną bazę mówimy, że spełnia II-gi aksjomat przeliczalności. Minimalną moc bazy przstrzeni X nazywamy jej ciężarem. C(X)= m
*Rodzinę ${U_{t}}_{t\in T}$ podzbiorów przestrzeni X nazywamy jej pokryciem, gdy $/sum_{t\in T} U_{t}=X$. Mówimy, że pokrycie jest otwarte/domknięte, gdy wszystkie zbiory $U_{t}$ są otwarte/domknięte
*Jeżeli przestrzeń spełnia II-gi aksjomat przeliczalności, to z każdego pokrycia otwartego ${H_{t}}_{t\in T}$ tej przestrzeni można wybrać pokrycie przeliczalne.

Zadanie 7.
a)Pokazać, że jeżeli X spełnia II-gi aksjomat przeliczalności, to jest przestrzenią ośrodkową.
b)Pokazać, że jeżeli przestrzeń metryczna X jest ośrodkowa, to spełnia II-gi aksjomat przeliczalności.


janusz78
postów: 820
2016-06-05 21:24:27

Zadanie 3.

Na mocy twierdzenia o bazie podprzestrzeni metrycznej,

bazą podprzestrzeni $ Y $ jest rodzina zbiorów postaci:

$B_{1}= \left\{B\cap Y, B\in B\right\}.$

Ponieważ jest to baza co najwyżej przeliczalna, więc podprzestrzeń $ Y $ jest ośrodkowa.

c.b.d.o.

Zadanie 4

Jeśli $ f:X \rightarrow Y $ jest funkcją "na" -ciągłą, przekształcającą przestrzeń $ X $ na przestrzeń $ Y $. Wybieramy co najwyżej przeliczalny zbiór $ A$ gęsty w przestrzeni $ X $

$ A = \left\{ a_{n}: n\in N\right\}.$

Należy wykazać, że zbiór $ f(A)$ co najwyżej przeliczalny jako obraz zbioru co najwyżej przeliczalnego jest gęsty w przestrzeni $ Y. $
Niech $U $ będzie niepustym, dowolnym zbiorem otwartym w przestrzeni $ Y. $ Zbiór $ f^{-1}(U)$ jest jest otwarty i niepusty w przestrzeni $ X.$ Ponieważ zbiór $ A$ jest gęsty w $ X, $ więc istnieje punkt $ a\in A\cap V$, co oznacza, że $f(a)\in f(A)\cap U.$
Dowodzi to gęstości zbioru $f(A) $ w przestrzeni $Y.$

c.b.d.o.


kolorpurpury
postów: 1
2016-06-08 08:19:36

Jak brzmi twierdzenie potrzebne do zadania 3?


tumor
postów: 8085
2016-06-08 08:58:13

Zadania już były, zostały rozwiązane. Wklejanie ich wielokrotnie gdy się z lenistwa nie chce zerknąć w rozwiązania będzie skutkować kasowaniem postów bez ostrzeżenia.

http://www.math.edu.pl/forum/temat,studia,4581,0
http://www.math.edu.pl/forum/temat,studia,4580,0
tu na przykład były


2.
Ośrodek ma niepusty przekrój z każdym zbiorem otwartym niepustym.
Jeśli podprzestrzeń jest otwarta, to zbiory otwarte w podprzestrzeni są przekrojami zbiorów otwartych nadprzestrzeni i zbioru otwartego, czyli są otwarte w nadprzestrzeni, czyli jeśli są niepuste, to mają niepusty przekrój z ośrodkiem.



Wiadomość była modyfikowana 2016-06-08 08:59:44 przez tumor

tumor
postów: 8085
2016-06-08 09:07:17

7.
a) jeśli ma bazę przeliczalną, to wystarczy wybrać po jednym punkcie z każdego zbioru bazowego, to jest ośrodek
b) bazą przeliczalną są kule o promieniach wymiernych i środkach w punktach ośrodka.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj