Probabilistyka, zadanie nr 4689

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
55555 postów: 60	2016-06-13 13:24:20 Bardzo proszę o rozwiązania następujących zadań: 1) Z rzutem dwiema kostkami, białą i czarną, zwiążmy następujące zdarzenia : A= {na jednej z kostek wypadną 4 oczka}, B={łącznie na obu kostkach wypadnie 6 oczek}, C={na każdej z kostek wypadnie nie więcej niż 3 oczka}. Zbadaj zależność zdarzeń A i B. Rozstrzygnij, czy informacja o zajściu zdarzenia C wpływa (i jak?) na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B. 2) Wykonano 6 rzutów symetryczną kostką sześcienną, której dwie ściany pomalowano na biało, trzy na zielono i jedną na czarno. Niech zdarzenia będą określone następująco : A-co najmniej raz wypadła ściana czarna, B- dokładnie trzy razy wypadła ściana biała, C- nie więcej niż pięć razy wypadły ściany biała lub czarna. Oblicz prawdopodobieństwo tych zdarzeń. 3) Na odcinku o długości 1 umieszczono losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że odległość między nimi jest mniejsza niż k, gdzie 0 < k < 1 ?

tumor postów: 8070	2016-06-13 13:50:23 1) zastanów się, jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych. Najlepiej opisać ją tak, by zdarzenia elementarne były jednakowo prawdopodobne. Wówczas $P(A)=\frac{\|A\|}{\|\Omega\|}$ i analogicznie z pozostałymi zdarzeniami. Czy orientujesz się, co musi wypaść na jakich kostkach, żeby w sumie było 6 oczek? To nie jest złożony problem. Zdarzenia A,B będą niezależne, gdy $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ W ostatniej części policzmy $P(B\|C)=\frac{P(B \cap C)}{P(C)}$ i sprawdźmy, czy to prawdopodobieństwo jest większe, mniejsze czy równe $P(B)$. 2) P(A) można liczyć jako $1-P(A`)$, gdzie A` to zdarzenie, że ani raz nie wypadła ścianka czarna P(B) można ze schematu Bernoullego p - prawdopodobieństwo, że wypadła biała w pojedynczym rzucie $P(B)={6 \choose 3}p^3(1-p)^3$ P(C) analogicznie do P(A) 3) sugeruję rozważyć kwadrat o boku 1. Losujemy jeden punkt jako współrzędną x i jeden jako y. Użyjemy prawdopodobieństwa geometrycznego. Interesuje nas ta część pola kwadratu, która znajduje się między wykresami $y=x\pm k$

55555 postów: 60	2016-06-13 13:58:07 no to w tym 3) wyszło P(A)= 2k-$k^{2}$ i to wszystko ?

tumor postów: 8070	2016-06-13 14:02:11 a czego więcej potrzebujesz? Każdy punkt z tego obszaru ma dwie wylosowane współrzędne, które różnią się o mniej niż k. Każdy punkt poza tym obszarem ma współrzędne różniące się nie mniej niż k. (Oczywiście gdy rozważamy tylko wnętrze kwadratu). Pole całego kwadratu jest 1. Ogólnie gdy liczymy prawdopodobieństwo geometryczne, gdy rozkład jest jednostajny, to dzielimy pole obszaru, który nas interesuje, przez pole całości. Tu dzielimy przez 1, czyli nie ma już nic do roboty.

55555 postów: 60	2016-06-13 14:19:43 1)Omega={1,2,3,4,5,6}^2, p($\omega$)=$\frac{1}{36}$, $\omega$$\in$Omega A={(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6)} \|A\|=11 B={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)} \|B\|=5 C={(1,1),(1,2),(2,1),(3,3),(3,2),(2,3),(1,3),(3,1)} \|C\|=8 A$\cap$B={(2,4),(4,2)} \|A$\cap$B\|=2 P(A$\cap$B)=$\frac{2}{36}$ P(A)=$\frac{11}{36}$ P(B)=$\frac{5}{36}$ P(A\|B)=$\frac{2}{5}$ P(B\|A)=$\frac{2}{11}$ A nie jest niezależne od B, B nie jest niezależne od A Wiadomość była modyfikowana 2016-06-13 14:30:47 przez 55555

55555 postów: 60	2016-06-13 14:30:00 P(C)=$\frac{8}{36}$ P(B$\cap$C)=$\frac{1}{36}$ P(B\|C)=$\frac{1}{8}$, zdarzenie C zmniejsza szansę zajścia zdarzenia B

55555 postów: 60	2016-06-13 15:09:53 Proszę o rozpisanie w tym 2) P(B)

tumor postów: 8070	2016-06-13 18:34:55 Jeśli chodzi o A, to ja rozumiem, że na dokładnie jednej z kostek wypadną 4 oczka, a nie, że na co najmniej jednej z kostek. Wobec tego ja nie brałbym pod uwagę (4,4), ale oczywiście to nie jest kwestia matematyczna tylko interpretacji. w C z całą pewnością ma być para (2,2) ------ ${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ oznacza ilość możliwości wyboru podzbioru k-elementowego ze zbioru n-elementowego. ${6 \choose 3}=20$ Na tyle sposobów możemy wybrać te trzy rzuty, gdzie wypadła ściana biała. Są dwie ściany białe z sześciu, wobec tego $p=\frac{1}{3}$, to prawdopodobieństwo wypadnięcia białej w pojedynczym rzucie. Są cztery ściany niebiałe, $1-p=\frac{2}{3}$. Zatem prawdopodobieństwo uzyskania 3 białych w 6 rzutach to $20(\frac{1}{3})^3(\frac{2}{3})^3$

55555 postów: 60	2016-06-14 16:00:04 Jak będzie wyglądała omega w tym drugim zadaniu ?

tumor postów: 8070	2016-06-14 17:19:38 $ \{b,c,z\}^6$ (sześcioelementowe ciągi, gdzie b biały, c czarny, z zielony) Przy tym nie można użyć prawdopodobieństwa klasycznego, bo nie każde zdarzenie elementarne jest równie prawdopodobne. Można jednak zrobić wybieg i ponumerować ścianki zapisując, które numery są białe, które czarne, które zielone. Wtedy można przyjąć przestrzeń $\{1,2,3,4,5,6\}^6$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj