Probabilistyka, zadanie nr 4689
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
55555 post贸w: 60 |  2016-06-13 13:24:20Bardzo prosz臋 o rozwi膮zania nast臋puj膮cych zada艅: 1) Z rzutem dwiema kostkami, bia艂膮 i czarn膮, zwi膮偶my nast臋puj膮ce zdarzenia : A= {na jednej z kostek wypadn膮 4 oczka}, B={艂膮cznie na obu kostkach wypadnie 6 oczek}, C={na ka偶dej z kostek wypadnie nie wi臋cej ni偶 3 oczka}. Zbadaj zale偶no艣膰 zdarze艅 A i B. Rozstrzygnij, czy informacja o zaj艣ciu zdarzenia C wp艂ywa (i jak?) na prawdopodobie艅stwo zaj艣cia zdarzenia B. 2) Wykonano 6 rzut贸w symetryczn膮 kostk膮 sze艣cienn膮, kt贸rej dwie 艣ciany pomalowano na bia艂o, trzy na zielono i jedn膮 na czarno. Niech zdarzenia b臋d膮 okre艣lone nast臋puj膮co : A-co najmniej raz wypad艂a 艣ciana czarna, B- dok艂adnie trzy razy wypad艂a 艣ciana bia艂a, C- nie wi臋cej ni偶 pi臋膰 razy wypad艂y 艣ciany bia艂a lub czarna. Oblicz prawdopodobie艅stwo tych zdarze艅. 3) Na odcinku o d艂ugo艣ci 1 umieszczono losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodobie艅stwo tego, 偶e odleg艂o艣膰 mi臋dzy nimi jest mniejsza ni偶 k, gdzie 0 < k < 1 ? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-13 13:50:23 1) zastan贸w si臋, jak wygl膮da przestrze艅 zdarze艅 elementarnych. Najlepiej opisa膰 j膮 tak, by zdarzenia elementarne by艂y jednakowo prawdopodobne. W贸wczas $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ i analogicznie z pozosta艂ymi zdarzeniami. Czy orientujesz si臋, co musi wypa艣膰 na jakich kostkach, 偶eby w sumie by艂o 6 oczek? To nie jest z艂o偶ony problem. Zdarzenia A,B b臋d膮 niezale偶ne, gdy $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ W ostatniej cz臋艣ci policzmy $P(B|C)=\frac{P(B \cap C)}{P(C)}$ i sprawd藕my, czy to prawdopodobie艅stwo jest wi臋ksze, mniejsze czy r贸wne $P(B)$. 2) P(A) mo偶na liczy膰 jako $1-P(A`)$, gdzie A` to zdarzenie, 偶e ani raz nie wypad艂a 艣cianka czarna P(B) mo偶na ze schematu Bernoullego p - prawdopodobie艅stwo, 偶e wypad艂a bia艂a w pojedynczym rzucie $P(B)={6 \choose 3}p^3(1-p)^3$ P(C) analogicznie do P(A) 3) sugeruj臋 rozwa偶y膰 kwadrat o boku 1. Losujemy jeden punkt jako wsp贸艂rz臋dn膮 x i jeden jako y. U偶yjemy prawdopodobie艅stwa geometrycznego. Interesuje nas ta cz臋艣膰 pola kwadratu, kt贸ra znajduje si臋 mi臋dzy wykresami $y=x\pm k$ |
55555 post贸w: 60 | 2016-06-13 13:58:07 no to w tym 3) wysz艂o P(A)= 2k-$k^{2}$ i to wszystko ? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-13 14:02:11 a czego wi臋cej potrzebujesz? Ka偶dy punkt z tego obszaru ma dwie wylosowane wsp贸艂rz臋dne, kt贸re r贸偶ni膮 si臋 o mniej ni偶 k. Ka偶dy punkt poza tym obszarem ma wsp贸艂rz臋dne r贸偶ni膮ce si臋 nie mniej ni偶 k. (Oczywi艣cie gdy rozwa偶amy tylko wn臋trze kwadratu). Pole ca艂ego kwadratu jest 1. Og贸lnie gdy liczymy prawdopodobie艅stwo geometryczne, gdy rozk艂ad jest jednostajny, to dzielimy pole obszaru, kt贸ry nas interesuje, przez pole ca艂o艣ci. Tu dzielimy przez 1, czyli nie ma ju偶 nic do roboty. |
55555 post贸w: 60 | 2016-06-13 14:19:43 1)Omega={1,2,3,4,5,6}^2, p($\omega$)=$\frac{1}{36}$, $\omega$$\in$Omega A={(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6)} |A|=11 B={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)} |B|=5 C={(1,1),(1,2),(2,1),(3,3),(3,2),(2,3),(1,3),(3,1)} |C|=8 A$\cap$B={(2,4),(4,2)} |A$\cap$B|=2 P(A$\cap$B)=$\frac{2}{36}$ P(A)=$\frac{11}{36}$ P(B)=$\frac{5}{36}$ P(A|B)=$\frac{2}{5}$ P(B|A)=$\frac{2}{11}$ A nie jest niezale偶ne od B, B nie jest niezale偶ne od A Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-06-13 14:30:47 przez 55555 |
55555 post贸w: 60 | 2016-06-13 14:30:00 P(C)=$\frac{8}{36}$ P(B$\cap$C)=$\frac{1}{36}$ P(B|C)=$\frac{1}{8}$, zdarzenie C zmniejsza szans臋 zaj艣cia zdarzenia B |
55555 post贸w: 60 | 2016-06-13 15:09:53 Prosz臋 o rozpisanie w tym 2) P(B) |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-13 18:34:55 Je艣li chodzi o A, to ja rozumiem, 偶e na dok艂adnie jednej z kostek wypadn膮 4 oczka, a nie, 偶e na co najmniej jednej z kostek. Wobec tego ja nie bra艂bym pod uwag臋 (4,4), ale oczywi艣cie to nie jest kwestia matematyczna tylko interpretacji. w C z ca艂膮 pewno艣ci膮 ma by膰 para (2,2) ------ ${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ oznacza ilo艣膰 mo偶liwo艣ci wyboru podzbioru k-elementowego ze zbioru n-elementowego. ${6 \choose 3}=20$ Na tyle sposob贸w mo偶emy wybra膰 te trzy rzuty, gdzie wypad艂a 艣ciana bia艂a. S膮 dwie 艣ciany bia艂e z sze艣ciu, wobec tego $p=\frac{1}{3}$, to prawdopodobie艅stwo wypadni臋cia bia艂ej w pojedynczym rzucie. S膮 cztery 艣ciany niebia艂e, $1-p=\frac{2}{3}$. Zatem prawdopodobie艅stwo uzyskania 3 bia艂ych w 6 rzutach to $20*(\frac{1}{3})^3*(\frac{2}{3})^3$ |
55555 post贸w: 60 | 2016-06-14 16:00:04 Jak b臋dzie wygl膮da艂a omega w tym drugim zadaniu ? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 17:19:38 $ \{b,c,z\}^6$ (sze艣cioelementowe ci膮gi, gdzie b bia艂y, c czarny, z zielony) Przy tym nie mo偶na u偶y膰 prawdopodobie艅stwa klasycznego, bo nie ka偶de zdarzenie elementarne jest r贸wnie prawdopodobne. Mo偶na jednak zrobi膰 wybieg i ponumerowa膰 艣cianki zapisuj膮c, kt贸re numery s膮 bia艂e, kt贸re czarne, kt贸re zielone. Wtedy mo偶na przyj膮膰 przestrze艅 $\{1,2,3,4,5,6\}^6$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj