logowanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4691

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

Autor	Zadanie / RozwiÄ zanie
geometria postĂłw: 865	2016-06-13 18:54:04 Jaka jest moc zbiorow? a) A={x$\in R$: $\exists_{n}\in N$ $x^{n}\in Q$} b) B={(x,y): x$\in R \wedge y\in R \wedge$ $\exists_{w\in Q}$ x$-y$=w} a) Wedlug mnie dla kazdej liczby rzeczywistej x istnieje liczba naturalna, dla ktorej $x^{n}\in Q$. Jest to 0. A dla zera dowolna naturalna. Zatem A=$R$. |A|=c. b) Zbior B jest zbiorem par ktorych roznica wspolrzednych jest wymierna. Ale jak stwierdzic jaka ma moc?
tumor postĂłw: 8070	2016-06-13 20:26:59 a) to $\pi$ do ktĂłrej potęgi daje liczbę wymiernÄ ? Zadanie jest nieco ciekawsze. RozwaĹźmy wielomiany stopnia n o współczynnikach całkowitych. Wielomian stopnia n ma najwyĹźej n+1 współczynnikĂłw, czyli takich wielomianĂłw jest przeliczalnie wiele (przeliczalna suma zbiorĂłw przeliczalnych). Oczywiście stopni wielomianĂłw teĹź jest przeliczalnie wiele, wobec tego wszystkich wielomianĂłw o współczynnikach całkowitych jest przeliczalnie wiele. Wielomian stopnia n ma najwyĹźej n pierwiastkĂłw rzeczywistych, wobec tego wszystkich pierwiastkĂłw wielomianĂłw o współczynnikach całkowitych jest przeliczalnie wiele. Widać ten ostatni wniosek? Liczb, ktĂłre stanowiÄ pierwiastek wielomianu o całkowitych współczynnikach jest przeliczalnie wiele. No i wystarczy zauwaĹźyć, Ĺźe jeśli $x^n=\frac{p}{q}$, to $qx^n=p$ czyli $qx^n-p=0$ wobec tego x jest pierwiastkiem wielomianu o całkowitych współczynnikach. Takich x jest przeliczalnie wiele. ---- Teraz uwaga na marginesie, ktĂłrÄ jednak przeczytaj, jeśli kiedyś chcesz działać w matematyce, bo dotyczy rzeczy istotnej. Otóş liczby, ktĂłre nie sÄ pierwiastkami wielomianĂłw o współczynnikach całkowitych (czy, rĂłwnowaĹźnie, wymiernych), zwane liczbami przestępnymi, się nie rzucajÄ w oczy. Znasz zapewne dwie, $\pi, e$. Natomiast w rzeczywistości jest ich DUĹťO, bo stanowiÄ podzbiĂłr R mocy c, podczas gdy pierwiastki wielomianĂłw o współczynnikach całkowitych stanowiÄ tylko podzbiĂłr mocy $\aleph_0$. W matematyce zajmujemy się tym, co łatwiejsze dla naszej intuicji, liczby całkowite, wymierne, pierwiastki róşnych stopni z liczb wymiernych, to wszystko sÄ pierwiastki wielomianĂłw, wobec tego przez zdecydowanÄ większość Ĺźycia obcujesz z liczbami algebraicznymi (czyli nie z przestępnymi), a przestępna trafia się rzadko. W rzeczywistości jednak jest istotnie więcej liczb przestępnych niĹź algebraicznych (przestępnych tyle co rzeczywistych, algebraicznych tyle co naturalnych). Analogiczna sytuacja wystÄ pi w przypadku funkcji ciÄ głych i róşniczkowalnych. Zajmujesz się oczywiście funkcjami ciÄ głymi i róşniczkowalnymi prawie wszędzie. Jakieś wielomiany, sinusy, wykładnicze, logarytmy. Podczas gdy istnieje (prześliczne) twierdzenie (Banacha) mĂłwiÄ ce, Ĺźe zbiĂłr funkcji róşniczkowalnych CHOĆ W JEDNYM PUNKCIE jest zbiorem I kategorii (co intuicyjnie teĹź oznacza, Ĺźe takich funkcji jest mało). Rozumiemy zatem, Ĺźe w pewien sposĂłb rozumiana \"większość\" funkcji ciÄ głych (rozumiesz ciÄ głość funkcji?) to funkcje, ktĂłre składajÄ się z samych załamań, nie majÄ nawet JEDNEGO punktu, w ktĂłrym byłyby róşniczkowalne. Jeszcze inny przykład z topologii: funkcje rzeczywiste ciÄ głe sÄ wyznaczone jednoznacznie przez swoje wartości na argumentach wymiernych. Wobec tego funkcji ciÄ głych jest \"mniej\" niĹź nieciÄ głych. Innymi słowy - spędzasz Ĺźycie zajmujÄ c się funkcjami róşniczkowalnymi, ktĂłrych jest mało nawet wśrĂłd ciÄ głych, a ciÄ głych jest mało wśrĂłd wszystkich. MajÄ one ciekawe własności, sÄ Ĺ‚atwe w badaniu, ale niech to nie myli intuicji. ZarĂłwno liczby, ktĂłre znasz, stanowiÄ mniejszość, jak i funkcje, ktĂłre znasz, stanowiÄ zdecydowanÄ mniejszość. Większość ma inne własności i inaczej się zachowuje, tylko rzadko się o nich mĂłwi. Kapuje? ------ b) ograniczyć z dołu i z gĂłry przez inne zbiory, ktĂłre majÄ tę samÄ moc, no i uĹźyć Cantora-Bernsteina. Najłatwiej: Ile jest wszystkich par (x,y)? A ile par (x,x), gdzie róşnica współrzędnych jest $0\in $Q?
geometria postĂłw: 865	2016-06-13 22:09:00 b) Jezeli $A\subseteq B$, to |A|$\le$|B| (implikacja odwrotna juz nie jest prawdziwa) Z gory: $B\subseteq R^{2}$, czyli |B|$\le$|$R^{2}$|=c. Z dolu: tutaj nie mam pomyslu. Roznica wspolrzednych jest rowna 0, jezeli wspolrzedne sa takie same. Takich par (x,x) jest tyle ile liczb rzeczywistych (bo b$\in R$). Zatem |B|=c.
tumor postĂłw: 8070	2016-06-13 22:28:29 No to widzisz. ZbiĂłr B ma co najmniej tyle elementĂłw, ile par (x,x) (bo kaĹźda taka para naleĹźy do B), a co najwyĹźej tyle ile $R^2$, bo kaĹźdy element B naleĹźy do $R^2$. Skoro w obu przypadkach mamy c, to na mocy Cantora-Bernsteina zbiĂłr B ma moc c.
geometria postĂłw: 865	2016-06-14 07:00:01 c) C={(x,y,z)$\in R^{3}$: 0$\le x<1 \wedge$0$\le y<1 \wedge$0$\le z<1 $} Kazda wspolrzedna nalezy do przedzialu [0,1). Przedzial [0,1)$\sim R$. Zatem |C|=c. Inaczej: Zbior C jest ograniczony z gory przez $R^{3}$. A z dolu?
tumor postów: 8070	2016-06-14 07:21:45 z dołu przez trójki $(x,0,0)$ gdzie $x\in [0,1)$ trójek jest tyle ile różnych x.
geometria postĂłw: 865	2016-06-14 19:33:48 a) Ale jak 0$\in N$, to wtedy |A|=c. Jak nie, to tak jak w powyzszej uwadze.
tumor postów: 8070	2016-06-14 19:49:57 zgadza się.
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj

© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj