Teoria mnogo艣ci, zadanie nr 4695
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2016-06-14 09:16:29Mowimy skonczenie wiele, nieskonczenie wiele, przeliczalnie wiele, nieprzeliczalnie wiele. Te drugie uzywa sie jak zbiory sa przeliczalne a czy uzycie tych pierwszych w kontekscie zbiorow przeliczalnych jest bledem? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 09:20:23 Nie rozumiem pytania. Zbi贸r przeliczalny mo偶e by膰 sko艅czony lub nie. Zbi贸r nieprzeliczalny musi by膰 niesko艅czony. Zbi贸r sko艅czony musi by膰 przeliczalny. Zbi贸r niesko艅czony mo偶e by膰 przeliczalny lub nie. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-14 09:55:48 W tym pytaniu chodzilo mi o roznice i zadania tego typu: 1. Podaj przyk艂ad relacji r贸wnowaznosci na zbiorze $R$, kt贸ra ma nieskonczenie wiele nieskonczonych klas abstrakcji. 2. Podaj przyk艂ad relacji r贸wnowaznosci na R, kt贸ra ma nieprzeliczalnie wiele nieprzeliczalnych klas abstrakcji. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 10:32:45 Tu si臋 oba da. Ale gdyby R zamieni膰 na N, to ju偶 tylko 1. by艂oby mo偶liwe. (Uwaga, w poni偶szych zapisach u偶ywam litery R w sensie zbioru liczb rzeczywistych, wobec tego litera S oznacza膰 b臋dzie relacj臋) popatrzmy na takie przyk艂ady: a) $aSb \iff a-b \in Q$ trzeba by pokaza膰, 偶e to relacja r贸wnowa偶no艣ci. Ma ona nieprzeliczalnie wiele klas abstrakcji, ale ka偶da klasa jest zbiorem przeliczalnym niesko艅czonym. (udowodnisz?) b) rozwa偶my bijekcj臋 $f:(0,1)^2\to (0,1)$, na przyk艂ad tak膮, 偶e $f(0,a_1a_2a_3a_4...;0,b_1b_2b_3b_4...)=0,a_1b_1a_2b_2a_3b_3...$ gdzie $a_i, b_i$ s膮 cyframi rozwini臋cia dziesi臋tnego. Na jej podstawie 艂atwo zrobi膰 bijekcj臋 $R^2\to R$ Oczywi艣cie $R^2$ 艂atwo podzieli膰 na nieprzeliczalnie wiele nieprzeliczalnych zbior贸w roz艂膮cznych, to $A_x=\{(x,y):y\in R\}$ dla $x\in R$ Zbiory te s膮 klasami abstrakcji relacji $(a,b)S(c,d) \iff A_a=A_c$. (widzisz oczywist膮 graficzn膮 interpretacj臋 tej relacji?) Zatem zbiory postaci $f(A_x)$ tworz膮 klasy abstrakcji w zbiorze liczb rzeczywistych. (je艣li mamy bijekcj臋, to zar贸wno obrazy klas abstrakcji w dziedzinie wyznaczaj膮 klasy abstrakcji w zbiorze warto艣ci, jak i odwrotnie, przeciwobrazy klas abstrakcji w zbiorze warto艣ci wyznaczaj膮 klasy abstrakcji w dziedzinie) Tak naprawd臋 je艣li chcesz pokaza膰 istnienie relacji r贸wnowa偶no艣ci, kt贸rej klasy abstrakcji spe艂niaj膮 jakie艣 warunki, wystarczy pokaza膰 istnienie PODZIA艁U zbioru o tych warunkach. Je艣li mo偶emy podzieli膰 zbi贸r na zbiory roz艂膮czne, to istnieje relacja, dla kt贸rej te zbiory s膮 klasami abstrakcji, to te偶 tre艣膰 pewnego twierdzenia. c) zr贸bmy jeszcze przyk艂ad, 偶e mamy niesko艅czenie przeliczalnie wiele nieprzeliczalnych klas abstrakcji. Oczywi艣cie wystarczy wzi膮膰 funkcj臋 $f(x)=\mbox{ca艂o艣膰}(x)$. x$Sy \iff f(x)=f(y)$ d) nie ma mo偶liwo艣ci, by podzieli膰 R na przeliczalnie wiele przeliczalnych klas abstrakcji, bo przeliczalna suma zbior贸w przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym i nie mo偶e by膰 to R. e) nie ma mo偶liwo艣ci, by na N relacja r贸wnowa偶no艣ci mia艂a cho膰 jedn膮 nieprzeliczaln膮 klas臋 abstrakcji albo te偶 nieprzeliczalnie wiele klas abstrakcji. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-14 19:44:22 nieskonczenie wiele jest pojeciem bardziej ogolnym niz przeliczalnie wiele/nieprzeliczalnie wiele prawda? bo np. liczb wymiernych, rzeczywistych jest nieskonczenie wiele, natomiast liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele, bo $Q$ jest przeliczalny, a liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnie wiele tak? nie mozna powiedziec, ze liczb wymiernych jest nieprzeliczalnie wiele prawda? Czy nadal nie rozumiem. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 19:53:14 Przeliczalnie wiele mo偶e by膰 sko艅czone lub nie. A niesko艅czone mo偶e by膰 przeliczalne lub nie. 呕adne z tych poj臋膰 nie jest og贸lniejsze bardziej. Przeliczalny nie oznacza niesko艅czonego ani niesko艅czony nie oznacza przeliczalnego. Nie wiem, czego nie rozumiesz. Przeliczalnie wiele to tyle, ile element贸w maj膮 podzbiory N. Nieprzeliczalnie wiele to tyle, 偶e 偶aden podzbi贸r N nie ma tylu element贸w. Sko艅czenie wiele to n element贸w dla pewnego n naturalnego. Niesko艅czenie wiele to wi臋cej ni偶 ka偶de n naturalne. Gdzie problem? Tak zdefiniowano te poj臋cia. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 09:48:59 A czy takie rozumowanie: liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele, bo Q jest przeliczalny jest dobre? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-15 09:55:41 Tu niewiele rozumowania. To prawda, liczb wymiernych jest tyle ile naturalnych. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj