logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4695

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-06-14 09:16:29

Mowimy skonczenie wiele, nieskonczenie wiele, przeliczalnie wiele, nieprzeliczalnie wiele. Te drugie uzywa sie jak zbiory sa przeliczalne a czy uzycie tych pierwszych w kontekscie zbiorow przeliczalnych jest bledem?


tumor
postów: 8070
2016-06-14 09:20:23

Nie rozumiem pytania. Zbiór przeliczalny może być skończony lub nie. Zbiór nieprzeliczalny musi być nieskończony. Zbiór skończony musi być przeliczalny. Zbiór nieskończony może być przeliczalny lub nie.


geometria
postów: 863
2016-06-14 09:55:48

W tym pytaniu chodzilo mi o roznice i zadania tego typu:
1. Podaj przykład relacji równowaznosci na zbiorze $R$, która ma nieskonczenie wiele nieskonczonych klas abstrakcji.
2. Podaj przykład relacji równowaznosci na R, która ma nieprzeliczalnie wiele nieprzeliczalnych klas abstrakcji.



tumor
postów: 8070
2016-06-14 10:32:45

Tu się oba da. Ale gdyby R zamienić na N, to już tylko 1. byłoby możliwe.

(Uwaga, w poniższych zapisach używam litery R w sensie zbioru liczb rzeczywistych, wobec tego litera S oznaczać będzie relację)

popatrzmy na takie przykłady:
a) $aSb \iff a-b \in Q$
trzeba by pokazać, że to relacja równoważności.
Ma ona nieprzeliczalnie wiele klas abstrakcji, ale każda klasa jest zbiorem przeliczalnym nieskończonym.
(udowodnisz?)

b) rozważmy bijekcję $f:(0,1)^2\to (0,1)$, na przykład taką, że
$f(0,a_1a_2a_3a_4...;0,b_1b_2b_3b_4...)=0,a_1b_1a_2b_2a_3b_3...$
gdzie $a_i, b_i$ są cyframi rozwinięcia dziesiętnego.
Na jej podstawie łatwo zrobić bijekcję $R^2\to R$
Oczywiście $R^2$ łatwo podzielić na nieprzeliczalnie wiele nieprzeliczalnych zbiorów rozłącznych, to $A_x=\{(x,y):y\in R\}$ dla $x\in R$
Zbiory te są klasami abstrakcji relacji $(a,b)S(c,d) \iff A_a=A_c$.
(widzisz oczywistą graficzną interpretację tej relacji?)
Zatem zbiory postaci $f(A_x)$ tworzą klasy abstrakcji w zbiorze liczb rzeczywistych.
(jeśli mamy bijekcję, to zarówno obrazy klas abstrakcji w dziedzinie wyznaczają klasy abstrakcji w zbiorze wartości, jak i odwrotnie, przeciwobrazy klas abstrakcji w zbiorze wartości wyznaczają klasy abstrakcji w dziedzinie)


Tak naprawdę jeśli chcesz pokazać istnienie relacji równoważności, której klasy abstrakcji spełniają jakieś warunki, wystarczy pokazać istnienie PODZIAŁU zbioru o tych warunkach. Jeśli możemy podzielić zbiór na zbiory rozłączne, to istnieje relacja, dla której te zbiory są klasami abstrakcji, to też treść pewnego twierdzenia.

c) zróbmy jeszcze przykład, że mamy nieskończenie przeliczalnie wiele nieprzeliczalnych klas abstrakcji. Oczywiście wystarczy wziąć funkcję $f(x)=\mbox{całość}(x)$.
x$Sy \iff f(x)=f(y)$

d) nie ma możliwości, by podzielić R na przeliczalnie wiele przeliczalnych klas abstrakcji, bo przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym i nie może być to R.

e) nie ma możliwości, by na N relacja równoważności miała choć jedną nieprzeliczalną klasę abstrakcji albo też nieprzeliczalnie wiele klas abstrakcji.



geometria
postów: 863
2016-06-14 19:44:22

nieskonczenie wiele jest pojeciem bardziej ogolnym niz przeliczalnie wiele/nieprzeliczalnie wiele prawda? bo np. liczb wymiernych, rzeczywistych jest nieskonczenie wiele, natomiast liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele, bo $Q$ jest przeliczalny, a liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnie wiele tak?
nie mozna powiedziec, ze liczb wymiernych jest nieprzeliczalnie wiele prawda? Czy nadal nie rozumiem.


tumor
postów: 8070
2016-06-14 19:53:14

Przeliczalnie wiele może być skończone lub nie. A nieskończone może być przeliczalne lub nie. Żadne z tych pojęć nie jest ogólniejsze bardziej.
Przeliczalny nie oznacza nieskończonego ani nieskończony nie oznacza przeliczalnego.

Nie wiem, czego nie rozumiesz. Przeliczalnie wiele to tyle, ile elementów mają podzbiory N.
Nieprzeliczalnie wiele to tyle, że żaden podzbiór N nie ma tylu elementów. Skończenie wiele to n elementów dla pewnego n naturalnego. Nieskończenie wiele to więcej niż każde n naturalne. Gdzie problem? Tak zdefiniowano te pojęcia.



geometria
postów: 863
2016-06-15 09:48:59

A czy takie rozumowanie: liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele, bo Q jest przeliczalny jest dobre?


tumor
postów: 8070
2016-06-15 09:55:41

Tu niewiele rozumowania. To prawda, liczb wymiernych jest tyle ile naturalnych.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj