Teoria mnogo艣ci, zadanie nr 4697
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2016-06-14 09:36:27Podaj przyk艂ad 6 zbior贸w nieskonczonych o r贸znych mocach. 1. |$N$|=$\aleph_{0}$. 2. |$R$|=c. 3. |$R^{R}$|>c. A jakie bylyby pozostale? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 09:54:51 Istnieje twierdzenie m贸wi膮ce, 偶e moc zbioru niesko艅czonego X NIE JEST r贸wna mocy jego zbioru pot臋gowego P(X). Wobec tego r贸偶ne moce maj膮 na pewno X P(X) P(P(X)) P(P(P(X))) P(P(P(P(X)))) P(P(P(P(P(X))))) a za X mo偶esz sobie wstawi膰 dowolny znany Ci zbi贸r niesko艅czony. Dow贸d zapewne jest w \"Teorii mnogo艣ci\" B艂aszczyka, Turka, ale mi si臋 szuka膰 nie chce. Spr贸bujemy co艣 tu ukula膰. Trzeba pokaza膰, 偶e dowolna $f:X\to P(X)$ nie jest bijekcj膮. W tym celu rozwa偶my zbi贸r: $S=\{x\in X: x\notin f(x)\} $ oczywi艣cie S jako podzbi贸r X jest elementem P(X). Zauwa偶my jednak, 偶e nie jest on warto艣ci膮 funkcji dla 偶adnego $x_0\in X$. Przypu艣膰my, 偶e $S=f(x_0)$ Nie mo偶e by膰 tak, 偶e $x_0\in S$ (bo to sprzeczne z definicj膮 zbioru S). Jednocze艣nie jednak nie mo偶e by膰 tak, 偶e $x_0 \notin S$, bo je艣li $f(x_0)=S$ i $x_0\notin S$, to $x_0 \in S$. Z tej sprzeczno艣ci wynika zatem, 偶e S nie jest warto艣ci膮 funkcji $f:X\to P(X)$ |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-14 10:02:09 Dziekuje. Ale jak trzeba byloby podac 3 zbiory to moje by sie nadaly. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 10:09:42 Owszem. Mo偶na nawet pokaza膰 r贸wnoliczno艣膰 $R \sim P(N)$ $R^R \sim P(P(N))$ To pierwsze jest raczej oczywiste. Przy drugim zauwa偶amy $2^c \le c^c \le (2^c)^c \le 2^{c*c}=2^c$ |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-14 17:27:59 A to tw. ma jakas nazwe? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 17:40:56 Kt贸re? O nier贸wnoliczno艣ci X z P(X)? Sprawdzimy. Internety m贸wi膮, 偶e to po prostu twierdzenie Cantora o nieistnieniu bijekcji z X na P(X). Swoj膮 drog膮 mo偶esz pyta膰 googla, te偶 troch臋 wie. ;) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj