logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4697

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-06-14 09:36:27

Podaj przykład 6 zbiorów nieskonczonych o róznych mocach.

1. |$N$|=$\aleph_{0}$.
2. |$R$|=c.
3. |$R^{R}$|>c.
A jakie bylyby pozostale?


tumor
postów: 8070
2016-06-14 09:54:51

Istnieje twierdzenie mówiące, że moc zbioru nieskończonego X NIE JEST równa mocy jego zbioru potęgowego P(X).

Wobec tego różne moce mają na pewno
X
P(X)
P(P(X))
P(P(P(X)))
P(P(P(P(X))))
P(P(P(P(P(X)))))

a za X możesz sobie wstawić dowolny znany Ci zbiór nieskończony.

Dowód zapewne jest w "Teorii mnogości" Błaszczyka, Turka, ale mi się szukać nie chce. Spróbujemy coś tu ukulać.

Trzeba pokazać, że dowolna $f:X\to P(X)$ nie jest bijekcją. W tym celu rozważmy zbiór:
$S=\{x\in X: x\notin f(x)\} $
oczywiście S jako podzbiór X jest elementem P(X). Zauważmy jednak, że nie jest on wartością funkcji dla żadnego $x_0\in X$.

Przypuśćmy, że $S=f(x_0)$
Nie może być tak, że $x_0\in S$ (bo to sprzeczne z definicją zbioru S).
Jednocześnie jednak nie może być tak, że $x_0 \notin S$, bo jeśli $f(x_0)=S$ i $x_0\notin S$, to $x_0 \in S$.
Z tej sprzeczności wynika zatem, że S nie jest wartością funkcji $f:X\to P(X)$




geometria
postów: 863
2016-06-14 10:02:09

Dziekuje.
Ale jak trzeba byloby podac 3 zbiory to moje by sie nadaly.


tumor
postów: 8070
2016-06-14 10:09:42

Owszem.
Można nawet pokazać równoliczność
$R \sim P(N)$
$R^R \sim P(P(N))$

To pierwsze jest raczej oczywiste.
Przy drugim zauważamy

$2^c \le c^c \le (2^c)^c \le 2^{c*c}=2^c$



geometria
postów: 863
2016-06-14 17:27:59

A to tw. ma jakas nazwe?


tumor
postów: 8070
2016-06-14 17:40:56

Które? O nierównoliczności X z P(X)? Sprawdzimy. Internety mówią, że to po prostu twierdzenie Cantora o nieistnieniu bijekcji z X na P(X).
Swoją drogą możesz pytać googla, też trochę wie. ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj