logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4704

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-06-15 14:00:41

Jakie sa moce ponizszych zbiorow?
a) A={(x,y)$\in Q^{2}$:x+y=8}={(x,y)$\in Q^{2}$: y=8-x}
|A|=$\aleph_{0}$, bo jak x jest liczba wymierna, to y tez, bo roznica liczb wymiernych jest liczba wymierna. Zatem tych par bedzie tyle ile liczb wymiernych, ktorych jest $\aleph_{0}$.

b) $B_{a,b}$={(x,y)$\in R^{2}$:y=ax+b} dla a,b$\in R$
|$B_{a,b}$|=c, bo punktow na prostej y=ax+b jest tyle ile punktow (x, ax+b) a tych jest tyle ile liczb rzeczywistych, czyli c.

c) $C_{a,b}$={(x,y)$\in Q^{2}$:y=ax+b} dla a,b$\in R$
Wowczas zalezy to od wspolczynikow a i b.
1) jak a,b beda wymierne, to moc bedzie alef zero.
2) jak a,b beda niewymierne, to moc bedzie 0.
3) jak a bedzie niewymierne, b wymierne to beda m.in. punkty (0,b) ich bedzie alef zero.
4) jak a wymierne, b niewymierne, to moc bedzie chyba 0.


tumor
postów: 8070
2016-06-15 14:14:00

a) ok
b) ok
c)
1) ok
2) rozważ $a=-b$ i co wtedy?
3) punktów $(0,b)$ jest JEDEN w zbiorze $C_{a,b}$
4) ok

Pojawia się jeszcze pytanie, czy umiesz wszystkie odpowiedzi w c) uzasadnić, żeby nie było wątpliwości.


geometria
postów: 863
2016-06-15 14:27:06

c)
2) |$C_{a,b}$|=1, bo bedzie punkt (1,0).
3) |$C_{a,b}$|=1, bo bedzie punkt (0,b).

Wydaje mi sie, ze uzasadnienie bedzie opieralo sie na dzialaniach w liczbach wymiernych i niewymiernych przy ustalonych a i b (czy sa one wymierne czy nie).


tumor
postów: 8070
2016-06-15 14:36:40

Tak, będzie się opierało na tym. Tylko czy umiesz je podać czy nie umiesz. :) Przemyśl.

2) jeśli wybierzemy odpowiednio a,b, na przykład a=-b, to znajdziemy jeden punkt o obu współrzędnych wymiernych.
Umiesz podać a,b, żeby nie było żadnego punktu o obu współrzędnych wymiernych (i dowód, że nie ma żadnego)?
Czy istnieje jeszcze jakaś możliwość? Dwa punkty wymierne albo siedem? :)


geometria
postów: 863
2016-06-15 15:21:24

2) zadnego nie bedzie dla a=$\sqrt{2}$ i b=$\sqrt{5}$, bo jak x$\neq 0$ wymierny, to $\sqrt{2}$*x niewymierny. suma niewymiernej i $\sqrt{5}$ jest niewymierna.


tumor
postów: 8070
2016-06-15 15:25:16

Suma dwóch niewymiernych może być wymierna. Rzeczywiście suma
$\sqrt{2}*x+\sqrt{5}$ dla x wymiernego będzie niewymierna, ale suma
$\sqrt{2}*x+\sqrt{8}$ niekoniecznie.
Zatem masz rację, że istnieje tu możliwość, że prosta ma 1 punkt o obu współrzędnych wymiernych lub że ma 0 takich punktów, przykładowe $\sqrt{2}*x+\sqrt{5}$ faktycznie ma 0, ale czy umiesz to uzasadnić? Bo dwie niewymierne mogą się sumować do wymiernej, wobec czego nie jest to wystarczający argument.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj