Teoria mnogości, zadanie nr 4704

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2016-06-15 14:00:41 Jakie sa moce ponizszych zbiorow? a) A={(x,y)$\in Q^{2}$:x+y=8}={(x,y)$\in Q^{2}$: y=8-x} \|A\|=$\aleph_{0}$, bo jak x jest liczba wymierna, to y tez, bo roznica liczb wymiernych jest liczba wymierna. Zatem tych par bedzie tyle ile liczb wymiernych, ktorych jest $\aleph_{0}$. b) $B_{a,b}$={(x,y)$\in R^{2}$:y=ax+b} dla a,b$\in R$ \|$B_{a,b}$\|=c, bo punktow na prostej y=ax+b jest tyle ile punktow (x, ax+b) a tych jest tyle ile liczb rzeczywistych, czyli c. c) $C_{a,b}$={(x,y)$\in Q^{2}$:y=ax+b} dla a,b$\in R$ Wowczas zalezy to od wspolczynikow a i b. 1) jak a,b beda wymierne, to moc bedzie alef zero. 2) jak a,b beda niewymierne, to moc bedzie 0. 3) jak a bedzie niewymierne, b wymierne to beda m.in. punkty (0,b) ich bedzie alef zero. 4) jak a wymierne, b niewymierne, to moc bedzie chyba 0.

tumor postów: 8070	2016-06-15 14:14:00 a) ok b) ok c) 1) ok 2) rozważ $a=-b$ i co wtedy? 3) punktów $(0,b)$ jest JEDEN w zbiorze $C_{a,b}$ 4) ok Pojawia się jeszcze pytanie, czy umiesz wszystkie odpowiedzi w c) uzasadnić, żeby nie było wątpliwości.

geometria postów: 865	2016-06-15 14:27:06 c) 2) \|$C_{a,b}$\|=1, bo bedzie punkt (1,0). 3) \|$C_{a,b}$\|=1, bo bedzie punkt (0,b). Wydaje mi sie, ze uzasadnienie bedzie opieralo sie na dzialaniach w liczbach wymiernych i niewymiernych przy ustalonych a i b (czy sa one wymierne czy nie).

tumor postów: 8070	2016-06-15 14:36:40 Tak, będzie się opierało na tym. Tylko czy umiesz je podać czy nie umiesz. :) Przemyśl. 2) jeśli wybierzemy odpowiednio a,b, na przykład a=-b, to znajdziemy jeden punkt o obu współrzędnych wymiernych. Umiesz podać a,b, żeby nie było żadnego punktu o obu współrzędnych wymiernych (i dowód, że nie ma żadnego)? Czy istnieje jeszcze jakaś możliwość? Dwa punkty wymierne albo siedem? :)

geometria postów: 865	2016-06-15 15:21:24 2) zadnego nie bedzie dla a=$\sqrt{2}$ i b=$\sqrt{5}$, bo jak x$\neq 0$ wymierny, to $\sqrt{2}$*x niewymierny. suma niewymiernej i $\sqrt{5}$ jest niewymierna.

tumor postów: 8070	2016-06-15 15:25:16 Suma dwóch niewymiernych może być wymierna. Rzeczywiście suma $\sqrt{2}x+\sqrt{5}$ dla x wymiernego będzie niewymierna, ale suma $\sqrt{2}x+\sqrt{8}$ niekoniecznie. Zatem masz rację, że istnieje tu możliwość, że prosta ma 1 punkt o obu współrzędnych wymiernych lub że ma 0 takich punktów, przykładowe $\sqrt{2}*x+\sqrt{5}$ faktycznie ma 0, ale czy umiesz to uzasadnić? Bo dwie niewymierne mogą się sumować do wymiernej, wobec czego nie jest to wystarczający argument.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj