logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4705

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-06-15 14:07:37

Jaka jest moc zbiorow?
a) A={$A_{m}$: m$\in R$}
|A|=c, bo tych zbiorow $A_{m}$ bedzie tyle ile liczb rzeczywistych, czyli c.

b) B={$B_{n}$: n$\in N$}
|B|=alef zero, bo tych zbiorow $B_{n}$ bedzie tyle ile liczb naturalnych, czyli alef zero.

c) C=$R\times${0}={(x,0): x$\in R$}
|C|=c, bo par (x,0) bedzie tyle ile liczb rzeczywistych, czyli c.


tumor
postów: 8070
2016-06-15 14:14:37

Mniej więcej ok, ale z zastrzeżeniem.

Przypuśćmy, że na przykład mamy relację równoważności $aSb \iff 1>0$.
Zapewniam, że to jest relacja równoważności, ale możesz sobie to sprawdzić. Relacja równoważności dzieli R na klasy abstrakcji.
Niech $A_x=[x]$.

Jaką wtedy moc ma zbiór $A=\{A_x: x\in R\}$ ?

Wiadomość była modyfikowana 2016-06-15 14:16:58 przez tumor

geometria
postów: 863
2016-06-15 15:09:29

Po kolei.

1. Dla kazdego a$\in R$ zwrotna, bo $aSa \iff 1>0$ to nie zalezy od zadnych zmiennych.
itd.

Wyznaczmy klasy abstrakcji.
[0]={b$\in R$: 0Sb}={b$\in R$: 1>0}=$R $=[$-1$]=[1]=[2] (1>0 dla kazdego b$\in R$)
Zatem jest jedna klasa abstrakcji. Jest nia $R$.

Jezeli chodzi o zbior $A_{x}$=[x] to bedzie to jeden zbior (wszystkie sa sobie rowne). Zatem zbior ilorazowy A={$R$}={{...}} Wowczas moc zbioru ilorazowego |A|=1.





tumor
postów: 8070
2016-06-15 15:21:23

Tak jest.
Zatem jeśli nie wiemy, jak wyglądają $A_m$, to
$A=\{A_m: m\in R\}$ ma na pewno NAJWYŻEJ tyle elementów co R, ale może się zdarzyć, że wszystkie $A_m$ są identyczne, wtedy się ich nie liczy wielokrotnie, czyli może być $\mid A \mid =1$, można tak wymyślić $A_m$, żeby było $\mid A \mid =666$ albo $\mid A \mid =\aleph_0$.
Więc tak naprawdę w przypadku a) i b) możemy w tym zadaniu podać, że $1\le \mid A \mid \le c$
$1\le \mid B \mid \le \aleph_0$, natomiast od szczegółów definicji $A_m$ i $B_n$ zależy, jakie są dokładne moce.


geometria
postów: 863
2016-06-15 19:54:48

Niech $\sim$ bedzie relacja równowaznosci okreslona na $R^{2}$ wzorem (x,y)$\sim$(x',y')$\iff$$y-2x=y'-2x'$.

a) Jaka postac maja klasy abstrakcji i jaka maja moc?
b) Opisz zbior ilorazowy i podaj jego moc.

a) Klasy abstakcji sa postaci $A_{b}$={(x,y)$\in R^{2}$: $y-2x=b$}, gdzie b$\in R$.
Klasy abstrakcji sa mocy c, czyli |$A_{b}$|=c, bo punktow postaci ($x, 2x+b$) jest tyle ile liczb rzeczywistych.

b) Zbior ilorazowy to $R^{2}/\sim$={$A_{b}$: b$\in R$}. Zbior ilorazowy jest mocy c, bo zbiorow $A_{b}$ jest tyle ile liczb rzeczywistych.
Tutaj takie uzasadnienie wystarczy?

Wiadomość była modyfikowana 2016-06-15 19:55:31 przez geometria

tumor
postów: 8070
2016-06-15 21:07:01

a) dość oczywista jest graficzna interpretacja, klasami abstrakcji są proste równoległe.

b) mnie takie uzasadnienie wystarczy. Z zapisu zbiorów A_b wynika, że dla różnych b,c zbiory $A_b, A_c$ też są różne, wobec tego rzeczywiście różnych zbiorów jest dokładnie tyle ile różnych liczb rzeczywistych.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj