logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4706

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-06-15 15:56:40

Jaka jest moc zbiorow.
a) A={(x,y)$\in R^{2}$: xy<1}
1. x$\neq 0$
y<1/x
B={(x, cos mniejszego od 1/x)$\in R^{2}$: y<1/x}
|B|=c, bo takich par bedzie tyle ile $R \backslash${0}, czyli c (bo R$\sim R \backslash$ {0}).
2.
x=0
0<1
C={(0,y)$\in R^{2}$: 0<1}
|C|=c, bo tych par bedzie tyle ile $R$.
Zatem A=B$\cup$C. |A|=c, bo suma dwoch zbiorow mocy continuum jest rowna continuum.
Czy rozpatrywanie na takie przypadki jest poprawne?


tumor
postów: 8070
2016-06-15 16:02:37

Ujdzie, ale niepotrzebnie komplikujesz.

Jeśli już wiesz, że A zawiera podzbiór mocy c (czyli A ma moc co najmniej c), a sam jest podzbiorem $R^2$, czyli ma moc najwyżej c, to dalsze rozważanie nie ma sensu. Najszybciej chyba zauważyć, że pary (0,y) są w A i starczy. :)


geometria
postów: 863
2016-06-15 16:25:49

b) B-zbior liczb pierwszych. Liczb pierwszych jest nieskonczenie wiele, zatem zbior B jest nieskonczony. Liczby pierwsze to pewne liczby naturalne. Zatem B jest podzbiorem $N$, czyli |B|=alef zero.

c) Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb pierwszych, czyli P(B).
Moc P(B) jest rozna od mocy B (z twierdzenia Cantora).
Da sie okreslic ile wynosi moc P(B)?


tumor
postów: 8070
2016-06-15 16:35:22

b) ok
c) Tyle, ile $P(N)$.

Łatwo zrobić suriekcję z P(N) na $[0,1]$
Suriekcja ta nie będzie różnowartościowa, ale w najgorszym razie dwa argumenty będą mieć przyporządkowaną tę samą wartość, wobec czego można suriekcję przerobić na iniekcję w $[0,2]$.

Skoro istnieje suriekcja na $[0,1]$ i iniekcja w $[0,2]$, to P(N) ma moc c.
Skoro $B \sim N$, to $P(B) \sim P(N)$


geometria
postów: 863
2016-06-15 16:38:51

Dziekuje.

Czy kazdy zbior nieprzeliczalny ma moc niemniejsza od continuum?


tumor
postów: 8070
2016-06-15 16:45:48

Hipoteza continuum Cantora mówi, że nie istnieje zbiór o większej mocy niż N, ale mniejszej niż R.
Cantor się męczył nad dowodem i nic nie zrobił. Potem udowodniono, że zarówno przyjęcie HC jest niesprzeczne z aksjomatami teorii mnogości, ale i zaprzeczenie HC jest z aksjomatami teorii mnogości niesprzeczne.

Oznacza to, że NIE WYNIKA z aksjomatów żadna odpowiedź na Twoje pytanie. Możliwe jest tworzenie teorii mnogości w której przyjmuje się, że c jest najmniejszą liczbą kardynalną większą niż moc N, ale możliwe jest też tworzenie teorii mnogości z aksjomatem, że istnieją zbiory mocy pośredniej między N a R.

Wobec tego nieprzeliczalny oznacza więcej niż N, ale czy continuum jest najmniejszą liczbą kardynalną nieprzeliczalną, to jest kwestią dodania nowego aksjomatu.


geometria
postów: 863
2016-06-15 16:52:17

A jezeli zbior ma moc continuum to jest nieprzeliczalny?


tumor
postów: 8070
2016-06-15 16:58:58

Zbiór mocy c jest na pewno nieprzeliczalny, bo nie istnieje podzbiór N o mocy c (a tylko moc równą mocy podzbioru N nazywamy przeliczalną).

Natomiast HC nie dopuszcza mocy mniejszej niż c, większej od mocy N, zaprzeczenie HC dopuszcza, że c nie jest najmniejszą liczbą kardynalną nieprzeliczalną. Zadałeś zatem po prostu pytanie, na które nie ma odpowiedzi wynikającej z aksjomatów teorii mnogości. (Por. twierdzenia Goedla)


geometria
postów: 863
2016-06-15 17:17:36

Pytam, zeby wiedziec co robic chcac udowodnic, ze zbior jest nieprzeliczalny.

c) Zbior P(B) jest nieprzeliczalny, bo jest mocy c.

Chyba, ze z definicji zbioru nieprzeliczalnego czyli | $N$|$<$|P(B)|.
Trzeba pokazac, ze |$N$|$\le$|P(B)| i |$N$|$\neq$|P(B)|( te moce sa rozne z powyzszego).
Czyli jeszcze |$N$|$\le$|P(B)|.
Wowczas wiemy, ze istnieje funkcja roznowartosciowa z $N$ w P(B). Tylko jaka?



tumor
postów: 8070
2016-06-15 21:14:14

Jeśli chcesz udowodnić, że zbiór nie jest przeliczalny, to pokazujesz brak iniekcji w N (albo coś równoważnego temu brakowi).
Zbiór jest przeliczalny, gdy jest równoliczny z podzbiorem zbioru N, czyli gdy istnieje iniekcja w N.

Równoważnie na przykład zbiór jest przeliczalny, gdy istnieje suriekcja z N na ten zbiór.
Jeśli zatem nie istnieje, to jest nieprzeliczalny.

c) owszem, moc zbioru nieprzeliczalnego jest zawsze większa niż moc zbioru liczb naturalnych.

Jeśli potrzebujesz funkcji różnowartościowej z N w P(B) to można podać kilka oczywistych. Najoczywistszą z oczywistych jest $f(n)=\{p_n\}$, gdzie $p_n$ jest n-tą liczbą pierwszą (licząc od najmniejszej).

Inną oczywistą $g(n)=\{p_1,p_2,...,p_n\}$

Jeszcze inną jest $h(n)=\{p\in B:p<(n+666)^4\}$
Przy tym ostatnia może wymagać uzasadnienia. Mamy twierdzenie, że między n a 2n znajduje się liczba pierwsza, więc na pewno znajduje się między $n^4$ a $(n+1)^4$, gdy n>0. Wobec tego dla różnych argumentów funkcja przyjmuje różne wartości.

Wiadomość była modyfikowana 2016-06-15 21:14:43 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj