logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4711

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

koki22
postów: 15
2016-06-16 08:12:27

Witam,mam polecenie w którym mam za pomaca całki podwójnej zapisać wzór na obliczenie powierzchni ograniczonej funkcjami $z= \sqrt{x ^{2} + y^{2} }$ i $z=4$

No cóż narysowałem powierzchnie i jak wiadomo to obcięty(skrócony na wysokość) stożek..
Wyszło mi że całka do policzeni a powierzchni będzie wyglądać tak: $\int_{}^{} \int_{}^{} 4- \sqrt{ x ^{2}+ y^{2} }dxdy$, czy dobrze zrobiłem podstawiając pod $z$ tą 4 i to ze wszystko przerzuciłem na lewa stronę ?
I jak okreslic granice calkowania w takim razie ?
Z góry dziękuje za pomoc w rozwiązaniu :)



tumor
postów: 8085
2016-06-16 08:25:58

Jest ok.

Granice całkowania ustalamy patrząc, jak zmieniają się x i y.
Podstawą stożka jest koło, akurat jest u góry, ale to żadna różnica. W tym kole współrzędne x zmieniają się od -4 do 4, prawda? (jeśli będzie mniejszy od -4 albo większy od 4 to wypadniemy poza stożek)
Czyli pierwsza całka
$\int_{-4}^4 dx$
natomiast jeśli x mamy już wybrany z przedziału $[-4,4]$, to y obliczamy.
Okrąg to przecięcie powierzchni bocznej i podstawy, czyli
$4=\sqrt{x^2+y^2}$
$16=x^2+y^2$
$y=\pm \sqrt{16-x^2}$
Widzisz bowiem, że jeśli x=4, to y musi być 0, jeśli $x=\sqrt{7}$, to y zmienia się od -3 do 3, prawda? To, jak zmienia się y, jest zależne od tego, jaki już mamy x. Będzie
$\int_{-\sqrt{16-x^2}}^{\sqrt{16-x^2}}dy$.

Zamiana miejscami x i y, czyli zamiana kolejności całkowania nic istotnego nie zmienia, ale oczywiście wtedy y zmienia się od -4 do 4. A praktyczne policzenie samej całki łatwe będzie we współrzędnych biegunowych.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj