logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4716

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2016-06-16 15:41:23

1.
Mamy relacje rownowaznosci na $N^{2}$
(a,b)$\sim$(c,d)$\iff$a+b=c+d
Klasy abstrakcji maja postac: $A_{n}$={(a,b)$\in N^{2}$: a+b=n} dla n$\in N$.

Jakiej mocy sa klasy abstrakcji?

Wydaje mi sie, ze trzeba ustalic ile moze byc rozwiazan rownania a+b=n w liczbach naturalnych.
Albo b=n-a. Wyjdzie jakas prosta, gdzie na osi x jest n. Plus 0 i wowczas bedzie n+1 rozwiazan w liczbach naturalnych.
Czyli klasy abstrakcji sa mocy |$A_{n}$|=n+1, gdzie n$\in N$.

Zbior ilorazowy to $N^{2}$$/$$\sim$={$A_{n}$: n$\in N$}. Moc |$N^{2}$$/$$\sim$|=alef zero, bo tych zbiorow bedzie tyle ile liczb naturalnych.

2.
Mamy relacje rownowaznosci na $N^{2}$
(a,b)$\sim$(c,d)$\iff$a+d=b+c.

Klasy abstrakcji maja postac: $A_{n}$={(a,b)$\in N^{2}$: $a-b=n$} dla n$\in Z$.

Klas abstrakcji jest nieskonczenie wiele.

Klas abstrakcji jest przeliczalnie wiele.

Jakiej mocy sa klasy abstrakcji?

|$A_{n}$|=alef zero dla n$\in Z_{-}$, bo tych par bedzie tyle ile liczb naturalnych.
|$A_{n}$|=n+1 dla $n\in N$.

Zbior ilorazowy $N^{2}$$/$$\sim$={$A_{n}$: $n\in Z$}.

|$N^{2}$$/$$\sim$|=alef zero, bo tych zbiorow bedzie tyle ile liczb calkowitych.

3.
Mamy relacje rownowaznosci na X=$Z\times (Z\backslash${0})
(a,b)$\sim$(c,d)$\Rightarrow$ad=bc.

Klasy abstrakcji maja postac: $A_{q}$={(a,b)$\in Z\times (Z\backslash${0}): $\frac{a}{b}=q$} dla q$\in Q$.

Jakiej mocy sa klasy abstrakcji?

|$A_{q}$|=alef zero, bo tych par bedzie tyle ile liczb calkowitych dla okreslonego q. (dla q=2: 4/2, 8/4 itd. i kazdej takiej parze odpowiada jeszcze para z ujemnymi liczbami).

Zbior ilorazowy to B={$A_{q}$: $q\in Q$}.
|B|=alef zero, bo tych zbiorow bedzie tyle ile liczb wymiernych.


tumor
postów: 8085
2016-06-16 15:51:30

1.
a+b=n ma w naturalnych z zerem n+1 rozwiązań (bo a zmienia się od 0 do n), ale w naturalnych bez zera n rozwiązań.

Jeśli N^2 podzielimy na zbiory skończone, to oczywiście musi być ich nieskończenie wiele, ale wciąż przeliczalnie wiele.

2.
rozwiązań a-b=n jest w liczbach naturalnych zawsze nieskończenie wiele, niezależnie od tego, czy n jest ujemna, 0 czy całkowita.
Dla dodatniego n rozwiązania to
(n,0)
(n+1,1)
(n+2,2) etc, dla ujemnego n zamieniamy współrzędne miejscami, a dla n=0 będą pary (a,a).

3. Klas abstrakcji będzie "tyle ile liczb całkowitych", ale powinieneś w tym miejscu napisać "będzie co najmniej tyle ile liczb całkowitych", bo oczywiście będą też klasy abstrakcji niezwiązane z liczbami całkowitymi. Z drugiej strony klas abstrakcji będzie nie więcej niż $\mid Z^2 \mid$, stąd $\aleph_0$.
Nie chodzi o to, że masz błąd, ale o to, jak argumentujesz. Argumentujesz podzbiorem (czyli ułamkami $\frac{a}{b}=q$ dla q całkowitego), a informacja, ile elementów ma podzbiór mówi nam zawsze, ile CO NAJMNIEJ elementów ma nadzbiór.


geometria
postów: 854
2016-06-16 17:42:33

2. jak n jest ujemne to wystarczy zamienic miejscami?
bo np. dla n=1 mamy np. (n+1,1), czyli (2,1) a dla n=-1 byloby (1,n+1), czyli (1,0), ale 1-0=1 a nie -1.


tumor
postów: 8085
2016-06-16 21:10:49

Z tą zamianą miejscami tylko tyle mam na myśli, że wszelkie pary dające np n=4, czyli
(4,0)
(5,1) etc
zamienione miejscami na
(0,4)
(1,5) i tak dalej dają w wyniku -4. Wobec takiej symetrii rozwiązań dla dodatnich n musi być tyle ile dla ujemnych n.


geometria
postów: 854
2016-06-16 21:37:25

2. Czyli |$A_{n}$|=alef zero dla n$\in Z$, bo tych par bedzie tyle ile liczb naturalnych. (dobre uzasadnienie?).

3. Klasy abstrakcji niezwiązane z liczbami całkowitymi, czyli chodzi o to, ze q jest wymierne niecalkowite?
np. $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$?
bo jak napisalem tyle ile liczb calkowitych dla okreslonego q, to myslalem, ze nawet jak q jest wymierne niecalkowite to zalezy to od liczb calkowitych bo 1/2=2/4=4/8 itd. (w liczniku: 1 calkowita, 2 calkowita, 4 calkowita itd.)


tumor
postów: 8085
2016-06-16 21:48:38

2. Dobre uzasadnienie, jeśli umiesz przekonać inną osobę, że ich tyle będzie. :)

3. Prościej może po prostu napisać, że w klasie abstrakcji pary (a,b) znajdują się też pary (an,bn) dla n naturalnego, co oczywiście od razu daje $\aleph_0$ dla każdej klasy abstrakcji.
(Nie znaczy to znów, że w klasie abstrakcji są tylko elementy (an,bn), ale jest ich już nieskończenie wiele, a nie może być więcej niż $\aleph_0$)


geometria
postów: 854
2016-06-16 22:26:14

4.
Mamy relacje rownowaznosci na $R^{2}$
(a,b)$\sim$(c,d)$\iff$|a|+|b|=|c|+|d|
Klasy abstrakcji maja postac: $A_{n}$={(a,b)$\in N^{2}$: a+b=n} dla n$\in$[0,+$\infty$).

Klas abstrakcji bedzie continuum i bedzie ich nieprzeliczalnie wiele.

Jakiej mocy sa klasy abstrakcji?

Wydaje mi sie, ze beda zalezaly od tego jaka liczba bedzie n.
|$A_{n}$|=1 dla n=0. (para (0,0))
|$A_{n}$|=alef zero dla n$\in Q_{+}$.
(np. dla 1 mamy: (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1), (1/2, 1/2), (2/4, 1/2) itd.)
A dla n$\in R_{+}\backslash Q $ |$A_{n}$|=?
I jakie byloby uzasadnienie?

Zbior ilorazowy B={$A_{n}$: n$\in$[0,+$\infty$)}. |B|=c, bo tych zbiorow bedzie tyle ile liczb rzeczywistych dodatnich z zerem, czyli continuum.


geometria
postów: 854
2016-06-16 22:30:50

Chociaz 1 tez mozna przedstawic za pomoca liczb niewymienych.


geometria
postów: 854
2016-06-16 22:40:12

Wowczas
|$A_{n}$|=1 dla n=0. (para (0,0))
|$A_{n}$|=continuum n$\in R_{+}\backslash Q$.
(niewymierne da sie przedstawic za pomoca nieskonczenie niewymiernych?)
Na rysunku wyjda kwadraty a punktow na kwadracie jest continuum. (tak mozna uzasadnic?)


tumor
postów: 8085
2016-06-16 22:45:37

Jeśli relacja jest na $R^2$, to czemu klasy abstrakcji na $N^2$?
Poza n=0 wszystkie klasy abstrakcji będą nieprzeliczalne.
Każdą liczbę dodatnią da się przedstawić na continuum sposobów w postaci sumy liczb dodatnich.
Jeśli bowiem (0,n) jest przedziałem, to na c sposobów można wybrać punkt y w tym przedziale, wtedy
$y+(n-y)=n$
no i $\mid y \mid+\mid n-y \mid = n$

--

Uzasadnienie z kwadratami jest dobre. Jeśli rozumiesz, jaki podział wprowadza relacja równoważności, to wtedy wiesz, jakie są klasy abstrakcji. Z drugiej strony to uzasadnienie odwołuje się nieco do intuicji, wobec czego część bardziej formalnie nastawionych matematyków będzie narzekać.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 8 drukuj