Teoria mnogości, zadanie nr 4716

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2016-06-16 15:41:23 1. Mamy relacje rownowaznosci na $N^{2}$ (a,b)$\sim$(c,d)$\iff$a+b=c+d Klasy abstrakcji maja postac: $A_{n}$={(a,b)$\in N^{2}$: a+b=n} dla n$\in N$. Jakiej mocy sa klasy abstrakcji? Wydaje mi sie, ze trzeba ustalic ile moze byc rozwiazan rownania a+b=n w liczbach naturalnych. Albo b=n-a. Wyjdzie jakas prosta, gdzie na osi x jest n. Plus 0 i wowczas bedzie n+1 rozwiazan w liczbach naturalnych. Czyli klasy abstrakcji sa mocy \|$A_{n}$\|=n+1, gdzie n$\in N$. Zbior ilorazowy to $N^{2}$$/$$\sim$={$A_{n}$: n$\in N$}. Moc \|$N^{2}$$/$$\sim$\|=alef zero, bo tych zbiorow bedzie tyle ile liczb naturalnych. 2. Mamy relacje rownowaznosci na $N^{2}$ (a,b)$\sim$(c,d)$\iff$a+d=b+c. Klasy abstrakcji maja postac: $A_{n}$={(a,b)$\in N^{2}$: $a-b=n$} dla n$\in Z$. Klas abstrakcji jest nieskonczenie wiele. Klas abstrakcji jest przeliczalnie wiele. Jakiej mocy sa klasy abstrakcji? \|$A_{n}$\|=alef zero dla n$\in Z_{-}$, bo tych par bedzie tyle ile liczb naturalnych. \|$A_{n}$\|=n+1 dla $n\in N$. Zbior ilorazowy $N^{2}$$/$$\sim$={$A_{n}$: $n\in Z$}. \|$N^{2}$$/$$\sim$\|=alef zero, bo tych zbiorow bedzie tyle ile liczb calkowitych. 3. Mamy relacje rownowaznosci na X=$Z\times (Z\backslash${0}) (a,b)$\sim$(c,d)$\Rightarrow$ad=bc. Klasy abstrakcji maja postac: $A_{q}$={(a,b)$\in Z\times (Z\backslash${0}): $\frac{a}{b}=q$} dla q$\in Q$. Jakiej mocy sa klasy abstrakcji? \|$A_{q}$\|=alef zero, bo tych par bedzie tyle ile liczb calkowitych dla okreslonego q. (dla q=2: 4/2, 8/4 itd. i kazdej takiej parze odpowiada jeszcze para z ujemnymi liczbami). Zbior ilorazowy to B={$A_{q}$: $q\in Q$}. \|B\|=alef zero, bo tych zbiorow bedzie tyle ile liczb wymiernych.

tumor postów: 8070	2016-06-16 15:51:30 1. a+b=n ma w naturalnych z zerem n+1 rozwiązań (bo a zmienia się od 0 do n), ale w naturalnych bez zera n rozwiązań. Jeśli N^2 podzielimy na zbiory skończone, to oczywiście musi być ich nieskończenie wiele, ale wciąż przeliczalnie wiele. 2. rozwiązań a-b=n jest w liczbach naturalnych zawsze nieskończenie wiele, niezależnie od tego, czy n jest ujemna, 0 czy całkowita. Dla dodatniego n rozwiązania to (n,0) (n+1,1) (n+2,2) etc, dla ujemnego n zamieniamy współrzędne miejscami, a dla n=0 będą pary (a,a). 3. Klas abstrakcji będzie "tyle ile liczb całkowitych", ale powinieneś w tym miejscu napisać "będzie co najmniej tyle ile liczb całkowitych", bo oczywiście będą też klasy abstrakcji niezwiązane z liczbami całkowitymi. Z drugiej strony klas abstrakcji będzie nie więcej niż $\mid Z^2 \mid$, stąd $\aleph_0$. Nie chodzi o to, że masz błąd, ale o to, jak argumentujesz. Argumentujesz podzbiorem (czyli ułamkami $\frac{a}{b}=q$ dla q całkowitego), a informacja, ile elementów ma podzbiór mówi nam zawsze, ile CO NAJMNIEJ elementów ma nadzbiór.

geometria postów: 865	2016-06-16 17:42:33 2. jak n jest ujemne to wystarczy zamienic miejscami? bo np. dla n=1 mamy np. (n+1,1), czyli (2,1) a dla n=-1 byloby (1,n+1), czyli (1,0), ale 1-0=1 a nie -1.

tumor postów: 8070	2016-06-16 21:10:49 Z tą zamianą miejscami tylko tyle mam na myśli, że wszelkie pary dające np n=4, czyli (4,0) (5,1) etc zamienione miejscami na (0,4) (1,5) i tak dalej dają w wyniku -4. Wobec takiej symetrii rozwiązań dla dodatnich n musi być tyle ile dla ujemnych n.

geometria postów: 865	2016-06-16 21:37:25 2. Czyli \|$A_{n}$\|=alef zero dla n$\in Z$, bo tych par bedzie tyle ile liczb naturalnych. (dobre uzasadnienie?). 3. Klasy abstrakcji niezwiązane z liczbami całkowitymi, czyli chodzi o to, ze q jest wymierne niecalkowite? np. $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$? bo jak napisalem tyle ile liczb calkowitych dla okreslonego q, to myslalem, ze nawet jak q jest wymierne niecalkowite to zalezy to od liczb calkowitych bo 1/2=2/4=4/8 itd. (w liczniku: 1 calkowita, 2 calkowita, 4 calkowita itd.)

tumor postów: 8070	2016-06-16 21:48:38 2. Dobre uzasadnienie, jeśli umiesz przekonać inną osobę, że ich tyle będzie. :) 3. Prościej może po prostu napisać, że w klasie abstrakcji pary (a,b) znajdują się też pary (an,bn) dla n naturalnego, co oczywiście od razu daje $\aleph_0$ dla każdej klasy abstrakcji. (Nie znaczy to znów, że w klasie abstrakcji są tylko elementy (an,bn), ale jest ich już nieskończenie wiele, a nie może być więcej niż $\aleph_0$)

geometria postów: 865	2016-06-16 22:26:14 4. Mamy relacje rownowaznosci na $R^{2}$ (a,b)$\sim$(c,d)$\iff$\|a\|+\|b\|=\|c\|+\|d\| Klasy abstrakcji maja postac: $A_{n}$={(a,b)$\in N^{2}$: a+b=n} dla n$\in$[0,+$\infty$). Klas abstrakcji bedzie continuum i bedzie ich nieprzeliczalnie wiele. Jakiej mocy sa klasy abstrakcji? Wydaje mi sie, ze beda zalezaly od tego jaka liczba bedzie n. \|$A_{n}$\|=1 dla n=0. (para (0,0)) \|$A_{n}$\|=alef zero dla n$\in Q_{+}$. (np. dla 1 mamy: (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1), (1/2, 1/2), (2/4, 1/2) itd.) A dla n$\in R_{+}\backslash Q $ \|$A_{n}$\|=? I jakie byloby uzasadnienie? Zbior ilorazowy B={$A_{n}$: n$\in$[0,+$\infty$)}. \|B\|=c, bo tych zbiorow bedzie tyle ile liczb rzeczywistych dodatnich z zerem, czyli continuum.

geometria postów: 865	2016-06-16 22:30:50 Chociaz 1 tez mozna przedstawic za pomoca liczb niewymienych.

geometria postów: 865	2016-06-16 22:40:12 Wowczas \|$A_{n}$\|=1 dla n=0. (para (0,0)) \|$A_{n}$\|=continuum n$\in R_{+}\backslash Q$. (niewymierne da sie przedstawic za pomoca nieskonczenie niewymiernych?) Na rysunku wyjda kwadraty a punktow na kwadracie jest continuum. (tak mozna uzasadnic?)

tumor postów: 8070	2016-06-16 22:45:37 Jeśli relacja jest na $R^2$, to czemu klasy abstrakcji na $N^2$? Poza n=0 wszystkie klasy abstrakcji będą nieprzeliczalne. Każdą liczbę dodatnią da się przedstawić na continuum sposobów w postaci sumy liczb dodatnich. Jeśli bowiem (0,n) jest przedziałem, to na c sposobów można wybrać punkt y w tym przedziale, wtedy $y+(n-y)=n$ no i $\mid y \mid+\mid n-y \mid = n$ -- Uzasadnienie z kwadratami jest dobre. Jeśli rozumiesz, jaki podział wprowadza relacja równoważności, to wtedy wiesz, jakie są klasy abstrakcji. Z drugiej strony to uzasadnienie odwołuje się nieco do intuicji, wobec czego część bardziej formalnie nastawionych matematyków będzie narzekać.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj