Teoria mnogo艣ci, zadanie nr 4716
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2016-06-16 15:41:231. Mamy relacje rownowaznosci na $N^{2}$ (a,b)$\sim$(c,d)$\iff$a+b=c+d Klasy abstrakcji maja postac: $A_{n}$={(a,b)$\in N^{2}$: a+b=n} dla n$\in N$. Jakiej mocy sa klasy abstrakcji? Wydaje mi sie, ze trzeba ustalic ile moze byc rozwiazan rownania a+b=n w liczbach naturalnych. Albo b=n-a. Wyjdzie jakas prosta, gdzie na osi x jest n. Plus 0 i wowczas bedzie n+1 rozwiazan w liczbach naturalnych. Czyli klasy abstrakcji sa mocy |$A_{n}$|=n+1, gdzie n$\in N$. Zbior ilorazowy to $N^{2}$$/$$\sim$={$A_{n}$: n$\in N$}. Moc |$N^{2}$$/$$\sim$|=alef zero, bo tych zbiorow bedzie tyle ile liczb naturalnych. 2. Mamy relacje rownowaznosci na $N^{2}$ (a,b)$\sim$(c,d)$\iff$a+d=b+c. Klasy abstrakcji maja postac: $A_{n}$={(a,b)$\in N^{2}$: $a-b=n$} dla n$\in Z$. Klas abstrakcji jest nieskonczenie wiele. Klas abstrakcji jest przeliczalnie wiele. Jakiej mocy sa klasy abstrakcji? |$A_{n}$|=alef zero dla n$\in Z_{-}$, bo tych par bedzie tyle ile liczb naturalnych. |$A_{n}$|=n+1 dla $n\in N$. Zbior ilorazowy $N^{2}$$/$$\sim$={$A_{n}$: $n\in Z$}. |$N^{2}$$/$$\sim$|=alef zero, bo tych zbiorow bedzie tyle ile liczb calkowitych. 3. Mamy relacje rownowaznosci na X=$Z\times (Z\backslash${0}) (a,b)$\sim$(c,d)$\Rightarrow$ad=bc. Klasy abstrakcji maja postac: $A_{q}$={(a,b)$\in Z\times (Z\backslash${0}): $\frac{a}{b}=q$} dla q$\in Q$. Jakiej mocy sa klasy abstrakcji? |$A_{q}$|=alef zero, bo tych par bedzie tyle ile liczb calkowitych dla okreslonego q. (dla q=2: 4/2, 8/4 itd. i kazdej takiej parze odpowiada jeszcze para z ujemnymi liczbami). Zbior ilorazowy to B={$A_{q}$: $q\in Q$}. |B|=alef zero, bo tych zbiorow bedzie tyle ile liczb wymiernych. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-16 15:51:30 1. a+b=n ma w naturalnych z zerem n+1 rozwi膮za艅 (bo a zmienia si臋 od 0 do n), ale w naturalnych bez zera n rozwi膮za艅. Je艣li N^2 podzielimy na zbiory sko艅czone, to oczywi艣cie musi by膰 ich niesko艅czenie wiele, ale wci膮偶 przeliczalnie wiele. 2. rozwi膮za艅 a-b=n jest w liczbach naturalnych zawsze niesko艅czenie wiele, niezale偶nie od tego, czy n jest ujemna, 0 czy ca艂kowita. Dla dodatniego n rozwi膮zania to (n,0) (n+1,1) (n+2,2) etc, dla ujemnego n zamieniamy wsp贸艂rz臋dne miejscami, a dla n=0 b臋d膮 pary (a,a). 3. Klas abstrakcji b臋dzie \"tyle ile liczb ca艂kowitych\", ale powiniene艣 w tym miejscu napisa膰 \"b臋dzie co najmniej tyle ile liczb ca艂kowitych\", bo oczywi艣cie b臋d膮 te偶 klasy abstrakcji niezwi膮zane z liczbami ca艂kowitymi. Z drugiej strony klas abstrakcji b臋dzie nie wi臋cej ni偶 $\mid Z^2 \mid$, st膮d $\aleph_0$. Nie chodzi o to, 偶e masz b艂膮d, ale o to, jak argumentujesz. Argumentujesz podzbiorem (czyli u艂amkami $\frac{a}{b}=q$ dla q ca艂kowitego), a informacja, ile element贸w ma podzbi贸r m贸wi nam zawsze, ile CO NAJMNIEJ element贸w ma nadzbi贸r. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-16 17:42:33 2. jak n jest ujemne to wystarczy zamienic miejscami? bo np. dla n=1 mamy np. (n+1,1), czyli (2,1) a dla n=-1 byloby (1,n+1), czyli (1,0), ale 1-0=1 a nie -1. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-16 21:10:49 Z t膮 zamian膮 miejscami tylko tyle mam na my艣li, 偶e wszelkie pary daj膮ce np n=4, czyli (4,0) (5,1) etc zamienione miejscami na (0,4) (1,5) i tak dalej daj膮 w wyniku -4. Wobec takiej symetrii rozwi膮za艅 dla dodatnich n musi by膰 tyle ile dla ujemnych n. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-16 21:37:25 2. Czyli |$A_{n}$|=alef zero dla n$\in Z$, bo tych par bedzie tyle ile liczb naturalnych. (dobre uzasadnienie?). 3. Klasy abstrakcji niezwi膮zane z liczbami ca艂kowitymi, czyli chodzi o to, ze q jest wymierne niecalkowite? np. $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$? bo jak napisalem tyle ile liczb calkowitych dla okreslonego q, to myslalem, ze nawet jak q jest wymierne niecalkowite to zalezy to od liczb calkowitych bo 1/2=2/4=4/8 itd. (w liczniku: 1 calkowita, 2 calkowita, 4 calkowita itd.) |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-16 21:48:38 2. Dobre uzasadnienie, je艣li umiesz przekona膰 inn膮 osob臋, 偶e ich tyle b臋dzie. :) 3. Pro艣ciej mo偶e po prostu napisa膰, 偶e w klasie abstrakcji pary (a,b) znajduj膮 si臋 te偶 pary (an,bn) dla n naturalnego, co oczywi艣cie od razu daje $\aleph_0$ dla ka偶dej klasy abstrakcji. (Nie znaczy to zn贸w, 偶e w klasie abstrakcji s膮 tylko elementy (an,bn), ale jest ich ju偶 niesko艅czenie wiele, a nie mo偶e by膰 wi臋cej ni偶 $\aleph_0$) |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-16 22:26:14 4. Mamy relacje rownowaznosci na $R^{2}$ (a,b)$\sim$(c,d)$\iff$|a|+|b|=|c|+|d| Klasy abstrakcji maja postac: $A_{n}$={(a,b)$\in N^{2}$: a+b=n} dla n$\in$[0,+$\infty$). Klas abstrakcji bedzie continuum i bedzie ich nieprzeliczalnie wiele. Jakiej mocy sa klasy abstrakcji? Wydaje mi sie, ze beda zalezaly od tego jaka liczba bedzie n. |$A_{n}$|=1 dla n=0. (para (0,0)) |$A_{n}$|=alef zero dla n$\in Q_{+}$. (np. dla 1 mamy: (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1), (1/2, 1/2), (2/4, 1/2) itd.) A dla n$\in R_{+}\backslash Q $ |$A_{n}$|=? I jakie byloby uzasadnienie? Zbior ilorazowy B={$A_{n}$: n$\in$[0,+$\infty$)}. |B|=c, bo tych zbiorow bedzie tyle ile liczb rzeczywistych dodatnich z zerem, czyli continuum. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-16 22:30:50 Chociaz 1 tez mozna przedstawic za pomoca liczb niewymienych. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-16 22:40:12 Wowczas |$A_{n}$|=1 dla n=0. (para (0,0)) |$A_{n}$|=continuum n$\in R_{+}\backslash Q$. (niewymierne da sie przedstawic za pomoca nieskonczenie niewymiernych?) Na rysunku wyjda kwadraty a punktow na kwadracie jest continuum. (tak mozna uzasadnic?) |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-16 22:45:37 Je艣li relacja jest na $R^2$, to czemu klasy abstrakcji na $N^2$? Poza n=0 wszystkie klasy abstrakcji b臋d膮 nieprzeliczalne. Ka偶d膮 liczb臋 dodatni膮 da si臋 przedstawi膰 na continuum sposob贸w w postaci sumy liczb dodatnich. Je艣li bowiem (0,n) jest przedzia艂em, to na c sposob贸w mo偶na wybra膰 punkt y w tym przedziale, wtedy $y+(n-y)=n$ no i $\mid y \mid+\mid n-y \mid = n$ -- Uzasadnienie z kwadratami jest dobre. Je艣li rozumiesz, jaki podzia艂 wprowadza relacja r贸wnowa偶no艣ci, to wtedy wiesz, jakie s膮 klasy abstrakcji. Z drugiej strony to uzasadnienie odwo艂uje si臋 nieco do intuicji, wobec czego cz臋艣膰 bardziej formalnie nastawionych matematyk贸w b臋dzie narzeka膰. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj