logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4729

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2016-06-19 10:04:22

$a(x), b(x)$ to funkcje zdaniowe zmiennej x.

($\forall_{x\in X}$)($a(x)\vee b(x)$)
I teraz mam pytanie o ten kwantyfikator $\forall_{}$.
Jak wyznaczac te iksy?
Czy wszystkie iksy musza spelniac funkcje zdaniowa a(x) lub wszystkie x musza spelniac funkcje zdaniowa b(x)?
(bo kwantyfikator przed nawiasem jest $\forall_{x\in X}$)?

Jak wyglada to wyznaczanie? Moglbym poprosic o przyklad obrazujacy to?



janusz78
postów: 820
2016-06-19 18:46:11

Wszystkie $ x $ należące do dziedziny $ X$ muszą spełniać alternatywę dwóch funkcji (form) zdaniowych.

Np. Jeśli $ a(x): x\in A$, $b(x): x\in B$

to

$ \forall_{x\in X}[a(x)\vee b(x)]\equiv \forall_{x\in X}[(x\in A)\vee (x\in B)] \equiv \forall_{x\in X}[ x\in (A\cup B)].$


geometria
postów: 854
2016-06-20 12:02:11

X={2,3,4} i relacja podzielnosci na tym zbiorze.
($\forall_{x\in X}$)($a|x \vee$ a i x sa nieporownywalne)
dla a=2:
2|2 pierwszy czlon alternatywy prawdziwy zatem alternatywa prawdziwa
2 i 3 sa nieporownywalne drugi czlon alternatywy prawdziwy zatem alternatywa prawdziwa
2|4 pierwszy czlon alternatywy prawdziwy zatem alternatywa prawdziwa

Czyli dla a=2 ta alternatywa jest spelniona dla wszystkich $x\in X$. Zatem a jest elementem minimalnym.

Dobrze?


tumor
postów: 8085
2016-06-20 12:08:19

Ok. Wszystko poprawnie. Takie wymienianie dla dużych zbiorów będzie niepraktyczne, ale na początek ok.


geometria
postów: 854
2016-06-20 16:01:37

1. Relacja podzielnosci na zbiorze $N_{+}$.

Element minimalny i jednoczesnie najwiekszy to 1, bo 1|x dla kazdego $n\in N_{+}$.

A elementu maksymalnego (i najwiekszego) nie bedzie. Ale dlaczego?

Wiadomość była modyfikowana 2016-06-20 16:28:40 przez geometria

geometria
postów: 854
2016-06-20 16:40:42

2. Relacja podzielnosci na zbiorze $N$.

Element najwiekszy to 0, bo x|0 dla kazdego x$\in N$, bo nie ma juz takiej liczby, ktora jest podzielna przez wszystkie z tego zbioru.

Element najmniejszy to 1, bo 1|x dla kazdego x$\in N$, bo nie ma takiej liczby, ktora dzieli wszystkie z tego zbioru.

Zatem jak jest element najwiekszy i najmniejszy to jest on juz odpowiednio maksymalny i minimalny.

Dobrze?


3. Relacja podzielnosci na zbiorze $N\backslash${0,1}.

a) Elementy minimalne to wszystkie liczby pierwsze.
Ale dlaczego?

b) nie ma kresu gornego, bo nie ma ograniczen gornych. (nie ma takiej liczby, ktora jest podzielna przez wszystkie z tego zbioru)

c) nie ma kresu dolnego, bo nie ma ograniczen dolnych (nie ma takiej liczby, ktora dzieli wszystkie z tego zbioru)


Wiadomość była modyfikowana 2016-06-20 18:27:30 przez geometria

tumor
postów: 8085
2016-06-20 18:33:02

1.
Element minimalny i jednocześnie NAJMNIEJSZY to 1.

Elementu maksymalnego nie będzie, bo jeśli $a$ byłby maksymalny, to $2a$ spełniałby $a \mid 2a$, sprzeczność.

2. Jeśli 0 jest elementem największym (skoro $x\mid 0$), to jedynym maksymalnym.
Każdy inny $a$ nie może być maksymalnym, bo jest $a \mid 0$.

Jeśli 1 jest elementem najmniejszym (skoro 1 $\mid x$) to musi być jedynym minimalnym.
Różna od 1 liczba a nie może być minimalnym, skoro $1 \mid a$

3.
Wg definicji, której wyżej używasz, element minimalny to taki, że od wszystkich innych albo jest mniejszy, albo nieporównywalny.
To stwierdzenie jest równoważne innemu: element minimalny to taki, od którego nie ma mniejszego.
Liczby pierwszej nie dzieli żadna różna od niej ("mniejsza" w sensie relacji podzielności to taka, która nie jest równa, a jest dzielnikiem, liczby pierwsze w N nie mają innych dzielników niż one same, czyli nie mają liczb "mniejszych" w sensie relacji podzielności).



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 23 drukuj