logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Matematyka dyskretna, zadanie nr 4744

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kerp
postów: 16
2016-06-21 17:16:30

Proszę o rozwiązanie takiego zadania metodą indukcji.

Pokaż, że dla każdego n\inN:

Liczba 7^n-1 jest podzielna przez 3.


tumor
postów: 8085
2016-06-21 17:20:50

dla n=0 (albo dla n=1 jeśli tak zaczynacie naturalne) podzielność jest oczywista.

Załóżmy, że 3 dzieli $7^n-1$
Wtedy $7^{n+1}-1=7*7^n-1=7*(7^n-1)+6$
Skoro 3 dzieli $7^n-1$, to dzieli też $7*(7^n-1)+6$


kerp
postów: 16
2016-06-21 17:32:07

Zapomniałem napisać N+
A jeśli chciałbym zapisać to w postaci np. 3k to wtedy by wyglądało tak?
7^n-1=3j
3((7^n-1)+2)
3(7j+2)


Wiadomość była modyfikowana 2016-06-21 17:41:57 przez kerp

kerp
postów: 16
2016-06-21 17:44:27

Źle jeszcze raz :)

7^n-1=3j
7(3j)+6
21j+6
3((7j)+2)

Czy tak?


tumor
postów: 8085
2016-06-21 17:51:42

tak, może być


kerp
postów: 16
2016-06-21 18:05:43

Okej, a czy dla takiego przykładu(Podzielność przez 9):
9|4n^2+15n-1

a)Dla n=1:
9|18 jest spełnione dla n=1

b)Dla n>=1 Założenie jest prawdziwe:
Istnieje takie K należące do N+ ,że 4n^2+15n-1=9k

c)Wykazuje prawdziwość twierdzenia dla n+1:
Istnieje takie j należące do N+ ,że 4(n+1)^2+15(n+1)-1=9j

L=4(n^2+2n+1)+5n+5-1=
4n^2+13-1+9=
4n^2+15n-1+9-2n=
9k+9-2n=
9(k-2/9n+1)

Zatem: 9(k-2/9n+1)=9j=P

Czy można tak je rozwiązać?







tumor
postów: 8085
2016-06-21 18:15:55

Może zapytam tak: czy widząc to, co napisałeś, uważasz, że liczby postaci $4n^2+15n-1$ są z całą pewnością podzielne przez 9?


kerp
postów: 16
2016-06-21 18:23:09

Niestety nie wiem jak interpretować to co napisałem. Po prostu robiłem to schematem.

Wiadomość była modyfikowana 2016-06-21 18:24:08 przez kerp

tumor
postów: 8085
2016-06-21 18:36:55

To taka rada na przyszłość, staraj się jednak zrozumieć. Dlatego na studia chodzą ludzie, a nie kalkulatory, że ludzie rozumieją, a kalkulatory tylko robią schematem. Zapewniam, że gdy ludzie będą tylko robić schematem to od razu, z uwagi na bezbłędność kalkulatorów, wybierze się kalkulatory.

Najmniejszą koszmarną wadą Twojego rozumowania są literówki (pomijasz 1 z liczby 15, pomijasz n). Literówki można poprawić, o ile rozumowanie jest dobre.

Większą wadą jest jakieś koszmarne DZIELENIE w nawiasie. No kurna, jak sobie można podzielić, to każda liczba wyjdzie podzielna przez 9, w końcu $x=9*(\frac{x}{9})$. Czyli 7 jest podzielne przez 9 i 5 też jest podzielne przez 9. Ekstra, ale nieprawda.

Największą chyba koszmarną wadą Twojego rozumowania, która absolutnie uniemożliwia jego uratowanie, jest fakt, że 9 WCALE NIE DZIELI wszystkich liczb postaci $4n^2+15n-1$.
Dla przykładu n=3 da nam $4*9+45-1=80$, co nie jest podzielne przez 9. Byłoby bardzo niefajnie, gdybyś umiał udowodnić stwierdzenie, które nie jest prawdziwe.

Gdyby Twoje obliczenia były poprawne (a nie są z uwagi na literówki), to wynik 9k+9-2n mówiłby PRAWDĘ, że ta liczba przez 9 dzieli się NIEKONIECZNIE.
Dla pewnych n się dzieli (na przykład n=9, n=7776) a dla innych się nie dzieli (na przykład n=3).
Wobec tego patrz na wyniki obliczeń. Jeśli są przeprowadzane poprawnie, to będzie po nich widać, czy w ogóle masz co udowadniać.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 30 drukuj