logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4746

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2016-06-22 01:29:00

Porzadek produktowy na $R^{2}$.

1. Zbior A to kwadrat ograniczony prostymi x=-1, x=1, y=-1, y=1 dla x$\in$[-1,1].

Element najmniejszy to punkt (-1,-1) a najwiekszy to (1,1).
supA=(1,1), infA=(-1,-1).
-----------------
2. Zbior A' to ten sam kwadrat tylko bez brzegow.
Wowczas nie ma elementow maksymalnych, minimalnych, najwiekszego i najmniejszego.
supA=(1,1), infA=(-1,-1).
-------------------
3. Zbior B to prosta $y=-x+3$ dla x$\in$[-5,6].

Elementy minimalne i maksymalne sa te same i sa postaci (x,-x+3) dla x$\in$[-5,6].
supB=(6,8) a infB=(-5,-3).
----------------------------------
4. Zbior C to prosta $y=x-2$ dla x$\in$[-5,6].

Elementy minimalne i maksymalne sa te same i sa postaci (x,x-2) dla x$\in$[-5,6].
supB=(6,4) a infB=(-5,7).
--------------------------------
5. Zbior D to prosta y=2 dla x$\in$[-5,6].

Element najmniejszy to punkt (-5,2) a najwiekszy (6,2). I to sa tez kresy dolny i gorny. Ograniczenia dolne to obszar $x\le -5 \wedge y\le 2$ a ograniczenia gorne to obszar$x\ge 6 \wedge y\ge 2$.

Zbior D' to prosta y=2 dla wszystkich x.

Wowczas nie ma elementu najmniejszego i najwiekszego jak i maksymalnego i minimalnego. Brak kresow i ograniczen.
-------------------------------
6. Zbior E to prosta x=3 dla y$\in$[-5,6].

Element najmniejszy to punkt (3,-5) a najwiekszy (3,6). I to sa tez kresy dolny i gorny. Ograniczenia dolne to obszar $x\le 3 \wedge y\le -5$ a ograniczenia gorne to obszar$x\ge 3 \wedge y\ge 6$.

Zbior E' to prosta x=3 dla wszystkich y.

Wowczas nie ma elementu najmniejszego i najwiekszego jak i maksymalnego i minimalnego. Brak kresow i ograniczen.

W 5 i 6 to chyba jest liniowy porzadek nawet.

Dobrze?
---------------------------
7. Zbior F to prosta $y=2x-3$ (Zbior F' to prosta $y=-x-3$) dla wszystkich x.

Wowczas element najmniejszy i najwiekszy nie istnieja. Nie ma rowniez kresow ani ograniczen.

A czy sa elementy maksymalne i minimalne?





tumor
postów: 8085
2016-06-22 04:30:10

4.
C, a nie B
$infC=(-5,-7)$

----

Tak, 5,6, a także 4 opisują porządki liniowe. Każde dwa elementy zbioru są porównywalne.


----

7. W zbiorze F nie ma elementów maksymalnych ani minimalnych. Porządek jest liniowy, każde dwa są porównywalne. Od każdego istnieje większy i od każdego istnieje mniejszy.
W zbiorze F` każde dwa elementy są nieporównywalne, wobec tego każdy element jest maksymalnym i każdy jest minimalnym.


geometria
postów: 854
2016-06-22 11:21:09

3. Ograniczenia dolne to obszar $x\le -5 \wedge y\le -3$. Ograniczenia gorne to obszar $x\ge 6 \wedge y\ge 8$.

4. Jak jest liniowy to:
element najmniejszy (i zarazem jedyny minimalny) to punkt (-5,-7) a najwiekszy (i zarazem jedyny maksymalny) to punkt (6,4).
supC=(6,4) a infC=(-5,-7). Ograniczenia dolne to obszar $x\le -5 \wedge y\le -7$. Ograniczenia gorne to obszar $x\ge 6 \wedge y\ge 4$.

Wiadomość była modyfikowana 2016-06-22 11:53:26 przez geometria

geometria
postów: 854
2016-06-22 11:46:54

Czyli ogolnie mamy tak:
a$\neq 0$;b,c,d$\in R$ oraz [c,d] to przedzial niezerowy.
$I. $
a) Jak funkcja liniowa $y=ax+b$ dla x$\in [c,d]$ jest malejaca to jest czesciowy porzadek i elementy minimalne i maksymalne sa te same i sa postaci (x,ax+b) dla x$\in [c,d]$. Sa ograniczenia i kresy.
b) Jak funkcja liniowa $y=ax+b$ dla wszystkich x jest malejaca to jest czesciowy porzadek i elementy minimalne i maksymalne sa te same i sa postaci (x,ax+b) dla wszystkich x, ale nie ma ograniczen ani kresow.

$II. $
a) Jak funkcja liniowa $y=ax+b$ dla x$\in [c,d]$ jest rosnaca to jest porzadek liniowy. Istnieje element najmniejszy i najwiekszy. Sa ograniczenia i kresy (kresy dolny i gorny rowne sa elementowi najmniejszemu i najwiekszemu odpowiednio)
b) Jak funkcja liniowa $y=ax+b$ dla wszystkich x jest rosnaca, to jest porzadek liniowy. Nie istnieje element najmniejszy i najwiekszy (bo ta prosta sie ciagnie w nieskonczonosc w jedna i w druga strone). Zatem nie ma tez ograniczen ani kresow.

$III.$
a) Jak mamy prosta y=a, gdzie a$\in R$ dla x$\in [c,d]$, to jest porzadek liniowy. Istnieje element najmniejszy i najwiekszy. Sa ograniczenia i kresy (kresy dolny i gorny rowne sa elementowi najmniejszemu i najwiekszemu odpowiednio)
b) Jak mamy prosta y=a, gdzie a$\in R$ dla wszystkich x, to jest porzadek liniowy. Nie istnieje element najmniejszy i najwiekszy (bo ta prosta sie ciagnie w nieskonczonosc w jedna i w druga strone). Zatem nie ma tez ograniczen ani kresow.

$IV.$
a) Jak mamy prosta x=a, gdzie a$\in R$ dla y$\in [c,d]$, to jest porzadek liniowy. Istnieje element najmniejszy i najwiekszy. Sa ograniczenia i kresy (kresy dolny i gorny rowne sa elementowi najmniejszemu i najwiekszemu odpowiednio)
b) Jak mamy prosta x=a, gdzie a$\in R$ dla wszystkich y, to jest porzadek liniowy. Nie istnieje element najmniejszy i najwiekszy (bo ta prosta sie ciagnie w nieskonczonosc w jedna i w druga strone). Zatem nie ma tez ograniczen ani kresow.



Wiadomość była modyfikowana 2016-06-22 11:48:12 przez geometria

geometria
postów: 854
2016-06-22 12:42:34

8. Zbior G to obszar ograniczony prostymi: $x=-5, y=-3$, $y\le -x+3$ dla x$\in$[-5,6].
To trojkat prostokatny.
Elementy maksymalne sa postaci $(x, -x+3)$ dla x$\in$[-5,6].
Element najmniejszy to punkt (-5,-3).
Kresy i ograniczenia takie jak w 3.

9. Zbior H to obszar $y=-3$ dla x$\in$[-5,6] i proste, ktore utworza trojkat. Trojkat ma byc o wierzcholkach (0,8) (-5-3), (6,-3).

Elementy maksymalne sa na prostej przechodzacej przez punkty (0,8) i (6,-3) dla x$\in$[0,6].
Element najmniejszy to punkt (-5,-3).
Kresy i ograniczenia takie jak w 3.


tumor
postów: 8085
2016-06-22 12:52:37

Strasznie komplikujesz. Poniżej zakładam, że $X\subset R$ niepusty, $f:X\to R$ jest funkcją.

Jeśli funkcja ciągła (liniowa, kwadratowa, logarytm, obojętne) jest określona na przedziale domkniętym i ograniczonym, to i wartości są ograniczone, wobec czego:
- istnieją ograniczenia dolne, w tym kres dolny, wykresu funkcji
- istnieją ograniczenia górne, w tym kres górny, wykresu funkcji.
Oczywiście funkcja może być ograniczona dla pewnej ograniczonej dziedziny, wtedy nie potrzeba dodatkowych warunków i również istnieją ograniczenia i kresy.

(w związku z tym, że ograniczenia zależą tylko od ograniczenia zbioru wartości i ograniczenia dziedziny, jest nieco bez sensu pisać o kresach oddzielnie dla funkcji liniowej rosnącej, oddzielnie dla liniowej malejącej, oddzielnie dla liniowej stałej, a jak skomplikujesz funkcje - oddzielnie dla pierdyliarda funkcji. U licha, wykres KAŻDEJ funkcji, której dziedzina i zbiór wartości są ograniczone, ma ograniczenia i kresy)

Jeśli dziedziną dowolnej funkcji jest całe R, to nie ma ograniczeń dolnych ani górnych, wobec tego nie ma kresów.

(I znów piszesz to oddzielnie dla liniowej malejącej, oddzielnie dla liniowej rosnącej, oddzielnie dla stałej....)

Jeśli funkcja jest (silnie) malejąca, tzn $x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$, to każdy punkt wykresu jest elementem minimalnym i każdy jest elementem maksymalnym.
(Będą zatem elementy największe/najmniejsze tylko jeśli wykres jest jednopunktowy).

Jeśli funkcja jest (słabo) rosnąca, to porządek jest liniowy, każde dwa punkty są porównywalne. Wobec tego, jeśli dziedzina jest przedziałem domkniętym i ograniczonym, to wykres ma ograniczenia, ma kresy, a kresy te są wartościami największą i najmniejszą.

W porządku produktowym obie współrzędne pełnią symetryczne role, zatem to, co stosuje się do funkcji y=f(x) stosować się będzie także do wykresów odpowiadających funkcjom x=g(y), po zamianie rolami współrzędnych.

----

Poza tym nie pisz "dla wszystkich x" jeśli masz na myśli "dla wszystkich x rzeczywistych". Pisz, że rzeczywistych.
Masz literówki w tekście. Ja też może mam, zdarza się.


----

Piszesz
"Nie istnieje element najmniejszy i najwiekszy (bo ta prosta sie ciagnie w nieskonczonosc w jedna i w druga strone). Zatem nie ma tez ograniczen ani kresow."
Taki zapis sugeruje, że brak ograniczeń i kresów wynika z braku elementu największego i najmniejszego (a nie wynika). Wynika z tej argumentacji w nawiasie.
Masz zatem mylną gramatykę.


---

Zauważ, że poświęcając tyle samo tekstu napisałem nie tylko o prostych, ale ogólnie o wykresach funkcji, w tym o części funkcji nieciągłych. Można zresztą przejść na wykresy relacji, ale nie chciałem wprowadzać zamieszania, mielibyśmy bowiem relację określoną na wykresie innej relacji.
----




9. Jeśli do H należą całe PROSTE (bo tak piszesz), to H nie ma ograniczeń, wobec tego także kresów, wartości największej ani najmniejszej.






geometria
postów: 854
2016-06-22 13:13:21

9. Nie ograniczylem tych dwoch prostych. Ale jakby je ograniczyc tak, zeby ten trojkat o podanych wyzej wierzcholkach powstal, to wowczas bedzie tak jak napisalem?


tumor
postów: 8085
2016-06-22 13:38:40

9. Jeśli H jest trójkątem z brzegiem (albo samym brzegiem trójkąta) o podanych wierzchołkach, to owszem, ma elementy maksymalne na odcinku
$(0t+(1-t)*6, 8t-(1-t)*3)$ dla $t\in [0,1]$
Reszta też się zgadza.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 13 drukuj