Teoria mnogości, zadanie nr 4756

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2016-06-25 21:47:09 Formuly rownowazne a z dokladnoscia do rownowaznosci. Jaka jest roznica?

tumor postów: 8070	2016-06-25 21:58:11 U Wittgensteina pojawia się takie pytanie, jak dwa elementy A,B możemy uważać za równe, skoro przecież różnią się nazwami! Matematyka to sztuka abstrakcji, czyli wyodrębniania z rzeczy samych ich cech, które akurat mamy za istotne. (Zresztą pojęcie "klasa abstrakcji" to właśnie oznacza, zbiór elementów połączonych z uwagi na cechę, relację) Często w matmie będziesz spotykać "z dokładnością do kolejności" albo "z dokładnością do izomorfizmu". Za każdym razem oznacza to, że choć obiekty rozważane mogą się różnić (na przykład nazwą albo zewnętrznym wyglądem), to z uwagi na pewną cechę traktujemy je jako nieodróżnialne. Na przykład 35 i 53 są dwoma zapisami pewnej liczby. Można jednak uznać je za ten sam zapis z dokładnością do kolejności czynników. Napiszemy tak wtedy, gdy interesować nas będzie, jakie liczby pierwsze mnożymy, ale nie to, w jakiej kolejności. Gdy będziemy rozważać formuły, ale interesować nie będzie nas ich graficzny wygląd, ale znaczenie, wówczas odróżnimy dwie formuły tylko, gdy nie będą równoważne, natomiast równoważne, nawet inaczej zapisane, uznamy za jedną formułę. Wiadomość była modyfikowana 2016-06-25 21:58:27 przez tumor

geometria postów: 865	2016-06-25 22:17:28 $ \alpha$(p,q,r)=((p$\wedge q$)$\Rightarrow r$). Ile jest z dokladnoscia do rownowaznosci takich formul $\gamma$(p,q,r), ze $ \alpha$(p,q,r)$\vee$$\gamma$(p,q,r) jest tautologia? Odpowiedz uzasadnij.

tumor postów: 8070	2016-06-25 22:49:41 Na początek możesz policzyć, ile nierównoważnych formuł da się stworzyć dla 3 zmiennych. Pokażę, jak rozumować, na przykładzie 2 zmiennych. Każda formuła f(x,y) dla $x,y\in \{0,1\}$ przyjmująca wartości 0 i 1 może być utożsamiana z funkcją, której przeciwdziedzina ma 2 elementy, a dziedzina 4 (wszelkie możliwe kombinacje 0 i 1) Wobec tego jest $2^4=16$ różnych (tu znaczy to: nie równoważnych) formuł dla dwóch zmiennych x,y. Na przykład f(0,0)=0 f(0,1)=0 f(1,0)=0 f(1,1)=0 g(0,0)=1 g(0,1)=0 g(1,0)=0 g(1,1)=0 h(0,0)=0 h(0,1)=1 h(1,0)=0 h(1,1)=0 i tak dalej, 16 możliwości Policzysz, ile jest możliwości stworzenia formuły dla 3 zmiennych i liczbę tę nazwijmy M. Wyrażenie, o które pytają w zadaniu, musi być tautologią. Czyli dla każdego wartościowania zdań p,q,r musi być prawdą. Dla części wartościowań prawdą jest już formuła $\alpha(p,q,r)$, wobec tego całe zdanie też będzie i nie ma co rozważać. Dla niektórych jednak wartościowań formuła $\alpha(p,q,r)$ daje 0, a całe zdanie ma być prawdą, czyli spośród M możliwych formuł formułą $\gamma$ mogą być tylko te, które dla tych wartościowań dają 1. Powtórzę, jeśli dla jakiegoś wartościowania zmiennych zdaniowych formuła $\alpha$ jest fałszem, to formuła $\gamma$ dla tego wartościowania musi być prawdą. Spośród M możliwości wybieramy zatem tylko te spełniające ten warunek.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj