Teoria mnogości, zadanie nr 4758

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2016-06-26 07:59:41 Zapisac symbolicznie nastepujace zdania. a) uzywajac tylko spojnikow logicznych i kwantyfikatorow b) uzywajac tylko symboli dzialan mnogosciowych 1. Kazdy element zbioru A, ktory nalezy do zbioru B, nalezy tez do zbioru C. a) ($\forall_{x\in A}$)($x\in B \Rightarrow x\in C$) b) $A\subseteq B\subseteq C$ 2. Zaden element zbioru A, ktory nalezy do zbioru B, nie nalezy do zbioru C. a) ($\forall_{x\in A}$)($x\in B \Rightarrow x\notin C$) b) $(A\subseteq B) \backslash C$ 3. Pewien element zbioru A nalezy do dokladnie jednego ze zbiorow B, C. a) ($\exists_{x}$)($x\in A \wedge x\in B \wedge x\notin C)$$\vee$(($\exists_{x}$)($x\in A \wedge x\notin B \wedge x\in C)$ b) (($A\cap B)\backslash C$)$\cup$($(A\cap C)\backslash B$)

tumor postów: 8070	2016-06-26 08:10:12 1. a) ok b) nie ok 2. a) ok b) nie tylko nie ok, ale nonsensownie. Odejmujesz zbiór od zdania. 3. a) ok b) to jest zbiór. Masz zapisać zdanie. Ogólnie widzimy, że szwankuje używanie działań mnogościowych. Masz pisać zdania, nie zbiory. Na przykład 8 jest liczbą, a 8=4*2 jest zdaniem. Widzisz różnicę? Czy umiesz dodać liczbę do zdania? To ile to jest $8+(2^2=4)$, bo ja nie wiem. Podobnie nie wykonasz działania na zbiorze i zdaniu. Działania wykonujesz na zbiorze, to jedno, ale ostatecznie masz napisać o tych zbiorach zdanie. Ma mieć orzeczenie. Zdanie to zdanie. "zawiera się" albo "jest równe" albo "należy", albo "jest niepuste" to są przykłady orzeczeń, a orzeczenie w zdaniu musi wystąpić. Zdania łączymy spójnikami zdaniowymi w zdania złożone, aczkolwiek tego nie możesz robić w b).

geometria postów: 865	2016-06-26 08:25:00 1. b) $A\cap B\cap C\neq \emptyset$ 2. b) ($A\cap B)\backslash C \neq \emptyset$ 3. b) ($A\cap B)\backslash C$)$\cup$$(A\cap C)\backslash B$)$\neq \emptyset$

tumor postów: 8070	2016-06-26 08:42:32 1. Bliżej, ale nie. Weźmy A-parzyste, B-nieparzyste, C-niewymierne Jest prawdą, że każdy element zbioru A, jeśli należy do B, to należy do C. Natomiast formuła, którą piszesz, nie jest prawdą, bo przekrój tych trzech zbiorów jest pusty. 2. Zbiory dokładnie te same co w przykładzie 1. pokażą, że tu również nie działa. :) Ale jesteś bliżej niż wcześniej. 3. Znakomicie. Brak uwag. W przypadkach 1. i 2. zapominasz o tym, że "dla każdego" nie implikuje "istnieje". Każdy jednorożec ma trójkę dzieci, ale to nie znaczy, że choć jeden jednorożec istnieje. :) Niepustość jakiegoś zbioru mówi "istnieje". Dlatego dobrze masz 3., że tam zdanie mówi też o istnieniu. A jeszcze nie jest dobrze 1. i 2., bo to zdania z kwantyfikacją ogólną. (To jest być może większa podpowiedź niż się wydaje)

geometria postów: 865	2016-06-26 11:01:35 1. b) $A\cap B \subseteq C$ 2. b) $A\cap B\cap C=\emptyset$ A teraz dobrze odnosnie tej kwantyfikacji ogolnej? Czy mozna jeszcze inaczej zapisac?

tumor postów: 8070	2016-06-26 14:37:13 Podpowiedź mówiła o tym właśnie, że kwantyfikatory można zamieniać. $\forall_{x}P(x)$ oznacza właśnie $\neg \exists_{x}(\neg P(x))$ Zatem w 2 rozumiemy "nie istnieje element należący do A, do B i jeszcze do C". Teraz masz dobrze. 1. teraz też jest dobrze, można jednak rozumieć to zdanie właśnie przez zamianę kwantyfikatorów. Skoro każdy element $A\cap B$ ma być elementem C, to znaczy, że nie istnieje element $A\cap B$, który byłby w $C`$. Wobec tego można $A \cap B \cap C`=\emptyset$ albo równoważnie $(A \cap B) \backslash C=\emptyset$. Zatem wiele ułatwi zamiana kwantyfikatora "dla każdego" na zaprzeczenie kwantyfikatora "istnieje". Wtedy "istnieje" jakiś element gdy odpowiedni zbiór jest niepusty, natomiast "nie istnieje" gdy jakiś zbiór jest pusty. Metoda wygodna.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj