logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wy縮ze » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4802

ostatnie wiadomo艣ci  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwi膮zanie

diankaaa
post贸w: 3		 2016-09-18 13:07:08

ca艂ka (x+2)/(x^2+6x+5)dx


diankaaa
post贸w: 3		 2016-09-18 13:08:26

Prosz臋 o pomoc w zadaniu
Oblicz ekstremum funkcji f(x,y)= x^3+6x^2-5x+y^2-4y


janusz78
post贸w: 820		 2016-09-18 14:04:15

Zadanie 1

$\int \frac{x+2}{x^2 +6x + 5}dx = \int \frac{x+2}{(x+5)(x+1)}dx.$

Rozk艂adamy funkcj臋 podca艂kow膮 na sum臋 u艂amk贸w prostych.

$ \frac{x+2}{(x+5)(x+1)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x+1}.$

Obliczamy ca艂ki z u艂amk贸w prostych.

$ x +2 \equiv (A+B)x + A +5B.$

$( A + B = 1 \wedge A + 5B = 2.$

$ A = \frac{3}{4}, \ \ B = \frac{1}{4}.$

$\int \frac{x+2}{x^2 +6x + 5}dx = \frac{3}{4}\int \frac{1}{x+5}dx + \frac{1}{4}\int \frac{1}{x+1}dx = \frac{3}{4}ln|x+5|+\frac{1}{4}ln|x+1| + C .$

Obliczenie ca艂ki w pakiecie Sage:


var(\'x\') 

x

integrate((x+2)/(x^2 + 6*x + 5), x) 

       	

3/4log(x+5)+1/4log(x+1)


Zadanie 2

$ f(x,y) = x^3 + 6x^2 -5x +y^2 - 4y $

Obliczamy pierwsze pochodne cz膮stkowe.

$ f\'_{x}(x,y) = 3x^2 + 12x - 5.$

$ f\'_{y}(x,y) = 2y - 4.$

Znajdujemy wsp贸艂rz臋dne punkt贸w stacjonarnych z uk艂adu r贸wna艅:

$f\'_{x}(x,y) = 3x^2 + 12x - 5 = 0,$
i
$ f\'_{y}(x,y) = 2y - 4 = 0.$

$ P_{1}\left(-2 -\frac{1}{3}\sqrt{51}, 2\right)\approx P_{1}(-4,38, 2), \ \ P_{2}=\left(-2 +\frac{1}{3}\sqrt{51}, 2\right)\approx P_{2}(0,38, 2).$

Znajdujemy macierz drugiej r贸偶niczki,.

$ D^2(f(x,y))= \left[\begin{matrix}6x +12&0\\ 0&2 \end{matrix}\right].$

Badamy okre艣lono艣膰 drugiej r贸偶niczki w punktach stacjonarnych.

$D^2(P_{1})= \left[\begin{matrix}-14,28&0 \\ 0&2\end{matrix}\right].$


$D^2(P_{2})= \left[\begin{matrix}14,28&0 \\ 0&2\end{matrix}\right].$

W punkcie $ P_{1}$ macierz jest nieokre艣lona ani dodatnio ani ujemnie - funkcja nie ma ekstremum lokalnego.
W punkcie $ P_{2}$ macierz jest okre艣lona dodatnio - funkcja posiada minimum lokalne.

$ f_{min.lok} \approx f(0,38; 2).$



Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-09-18 18:50:53 przez janusz78

janusz78
post贸w: 820		 2016-09-19 19:47:15

Badanie przebiegu tej funkcji w pakiecie Sage patrz na stronie

http://matma4u.pl/topic/47452-badanie-przebiegu-funkcji-w-sage/

strony: 1

Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj

© 2019 Mariusz iwi駍ki      o serwisie | kontakt   drukuj