Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4811

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
patrycjap2 postów: 7	2016-09-25 14:07:17 Znajdz czynnik calkujacy a nastepnie rozwiaz rownanie: $(1-x^{2}y)dx + (x^{2}y-x)dy=0$

patrycjap2 postów: 7	2016-09-25 14:14:45 edycja: $(1-x^{2}y)dx+(x^{2}y-x^{3})dy=0$

tumor postów: 8070	2016-09-25 15:13:13 $P(x,y)=1-x^2y$ $Q(x,y)=x^2y-x^3$ $\frac{dP}{dy}=-x^2$ $\frac{dQ}{dx}=2xy-3x^2$ równanie nie jest zupełne $\frac{1}{Q}(\frac{dP}{dy}-\frac{dQ}{dx})=\frac{1}{x^2(y-x)}(-2x(y-x))=\frac{-2}{x}$ wyrażenie to jest zależne tylko od x, wobec tego czynnik całkujący jest funkcją zmiennej x. $\mu(x)=e^{\int \frac{-2}{x}dx}=e^{-2ln(x)}=\frac{1}{x^2}$ mnożymy obie strony wyjściowego równania przez czynnik całkujący $(\frac{1}{x^2}-y)dx+(y-x)dy=0$ teraz widzimy, że otrzymaliśmy równanie zupełne. Szukamy funkcji U(x,y) spełniającej $\left\{\begin{matrix} \frac{dU}{dx}=\frac{1}{x^2}-y \\ \frac{dU}{dy}=y-x \end{matrix}\right.$ Drugie równanie całkujemy względem y, dostajemy $U(x,y)=\frac{y^2}{2}-xy+f(x)$ wtedy $\frac{dU}{dx}=-y+f`(x)=-y+\frac{1}{x^2}$ wobec czego $f(x)=-\frac{1}{x}+C$ Skąd $U(x,y)=\frac{y^2}{2}-xy-\frac{1}{x}+C$ Całką równania zupełnego jest $\frac{y^2}{2}-xy-\frac{1}{x}=C_1$

patrycjap2 postów: 7	2016-09-25 15:43:38 Dziekuje serdecznie za wyjasnienie zadania.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj